Torseur des actions mécaniques transmissibles par les liaisons normalisées

De WikiMéca
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

Hypothèse des liaisons parfaites

Dans cette partie du cours, on considère que les liaisons entre solides sont parfaites. C'est à dire :

  • Le contact entre les solides est sans frottement;
  • Les jeux entre les solides sont nuls.

Exemple : Torseur des actions mécaniques transmissibles dans une liaison pivot glissant

Liaison pivot glissant (contact cylindre/cylindre)

On considère une liaison pivot glissant d'axe entre les solides et .

Résultante du torseur

Les actions mécaniques élémentaires de contact entre et étant considérées sans frottement, elles sont normales à la suface de contact locales entre et . En considérant la géométrie cylindrique du contact, cette normale est forcement dans le plan .

La résultante des actions mécaniques de contact entre et a donc une composante nulle suivant .

Moment en du torseur

définition de l'élément de surface ds

On a :

Or (vecteurs colinéaires).

En projetant sur on obtient :

Or et sont orthogonaux.

 : La composante en du moment résultant de cette liaison est nulle.

Torseur des actions mécaniques translmissibles par la liaison

Finalement on peut écrire :


On remarque que les composantes nulles dans ce torseur ( X et L ) correspondent aux mobilités permises par la liaison (translation et rotation selon ).

On généralise, donc, cette démarche à toutes les liaisons normalisées.

Tableau des liaisons

Liaison ponctuelle de centre O et de normale

Dans le repère  :

Représentation:
Ponctuelle 3D.PNG
Torseur cinématique:

Torseur des actions mécaniques transmissibles:


Liaison appui-plan de normale

Dans le repère  :

Représentation:
Appui plan 3D.PNG
Torseur cinématique:

Torseur des actions mécaniques transmissibles:


Liaison pivot glissant d'axe et de centre O

Dans le repère  :

Représentation:
Pivot glissant 3D.PNG
Torseur cinématique:

Torseur des actions mécaniques transmissibles:


Liaison rotule de centre O

Dans le repère  :

Représentation:
Rotule 3D.PNG
Torseur cinématique:

Torseur des actions mécaniques transmissibles:



Liaison linéaire rectiligne d'axe et de normale

Dans le repère  :

Représentation:
Lineaire rectiligne 3D.PNG
Torseur cinématique:

Torseur des actions mécaniques transmissibles:


Liaison linéaire annulaire d'axe et de centre O

Dans le repère :

Représentation:
Lineaire annulaire 3D.PNG
Torseur cinématique:

Torseur des actions mécaniques transmissibles:



Liaison encastrement

Dans le repère :

Représentation:
Encastrement 3D.PNG
Torseur cinématique:

Torseur des actions mécaniques transmissibles:


Liaison pivot d'axe et de centre O

Dans le repère :

Représentation:
Pivot 3D.PNG
Torseur cinématique:

Torseur des actions mécaniques transmissibles:


Liaison glissière d'axe

Dans le repère :

Représentation:
Glissiere 3D.PNG
Torseur cinématique:

Torseur des actions mécaniques transmissibles:


Liaison hélicoïdale d'axe et de centre O

Dans le repère :

Représentation:
Helicoidale 3D.PNG
Torseur cinématique:


avec :
Torseur des actions mécaniques transmissibles:


avec :


Remarque :

  • p est le pas exprimé en m
  • pour une hélice à droite
  • pour une hélice à gauche.


Liaison rotule à doigt de centre O

Dans le repère :

Représentation:
Rotule a doigt 3D.PNG
Torseur cinématique:

Torseur des actions mécaniques transmissibles:


Simplification du torseur des actions mécaniques transmissible dans un plan

Beaucoup d'études peuvent être ramenées à un problème plan . C'est le cas si :

  • la géométrie du problème (les centres de liaisons) sont dans un plan P;
  • l'ensemble des résultantes d'effort en jeu sont contenu dans le même plan P;
  • les moments des torseurs d'effort sont normaux au plan P.


On peut alors émettre l'hypothèse que tous les torseurs d'action mécanique ne comportent que 3 composantes non-nulles : les deux composantes de la résultante contenues dans le plan d'étude, et la composante du moment normale au plan d'étude.

L'application du PFS sur un tel isolement ne donnera que 3 équations.



Exemple : système bielle-manivelle

Soit le système bielle-manivelle représenté ci-dessous. On considère, pour ce ramener à un problème de statique que la liaison en O est bloquée et que l'on cherche le moment en O si on applique une force horizontale sur la \pièce 3.

Schema cinematique bielle manivelle3.PNG

Le système bielle-manivelle représenté ci-dessus admet une simplification dans le plan car tous les centres de liaisons sont contenus dans ce plan et les efforts mis en jeu ont soit :

  • des résultantes contenues dans ;
  • des moments normaux à .

Le torseur d'effort de la liaison pivot-glissant d'axe entre les solides 2 et 3 s'écrit dans l'espace :

On peut le simplifier dans le plan  :

On peut noter également le torseur simplifié comme suit:

Remarque : Si on effectue l'étude complète sans la simplification, on aboutira de toutes façons à et . Ce type de raisonnement se généralise à tous les torseurs des liaisons et permet ainsi de minimiser le nombre d'inconnues statiques.

De même, on peut écrire le torseur simplifié de la liaison pivot en A :


Autres pages de la catégorie "Statique des solides"

Pince schrader.jpg

La statique, ou mécanique statique, est la branche de la mécanique qui étudie les systèmes mécaniques au repos dans un repère galiléen. Les phénomènes étudiés conditionnant l'état de repos d'un mécanisme sont les forces, les moments des forces, appelés d'une façon générale les actions mécaniques.

Cours Exercices