Loi entrée/sortie géométrique d'un mécanisme : Différence entre versions

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(Exemple : Système bielle-manivelle)
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==Exemple : Système bielle-manivelle==
 
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Le système bielle-manivelle permet de transformer un mouvement de rotation en mouvement de translation (ou inversement).
 
===Schema cinématique et paramétrage proposé===
 
===Schema cinématique et paramétrage proposé===
 
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Pour cette étude, on note :
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* <math>\theta_{01}</math> l'angle de rotation du la manivelle 1 considéré comme le '''paramètre d'entrée''';
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* <math>\theta_{02}</math> l'angle de rotation de la bielle 2;
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* <math>\lambda</math> tel que <math>\overrightarrow {OB}=\lambda \vec x_0</math> (la position en x du point B) considéré comme '''paramètre de sortie'''.
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*on notera les longueurs <math>e</math> telle que <math>\overrightarrow {OA}=e.\vec x_1</math> et <math>l</math> telle que <math>\overrightarrow {BA}=l.\vec x_2</math>
  
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On cherche donc une relation du type <math>\lambda = f(\theta_{01})</math> '''qui ne fait pas apparaître le paramètre interne <math>\theta_{02}</math>'''.
  
Pour cette étude, on désigne :
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===Fermeture géométrique===
* <math>\theta_{01}</math> l'angle de rotation  comme paramètre d'entrée et <math>\lambda</math> tel que <math>\overrightarrow {OB}=\lambda \vec x_0</math> (la position en x du point B) comme paramètre de sortie. On cherche donc une relation du type <math>\lambda = f(\theta_{01})</math>.
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La fermeture géométrique faisant intervenir les pièces d'entrée et de sortie s'écrit : <math>\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BO}=\overrightarrow 0</math>
  
===Fermeture géométrique===
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Ou, en utilisant le paramétrage : <math>e.\vec x_1-l.\vec x_2-\lambda \vec x_0=\overrightarrow 0</math>
La fermeture géométrique s'écrit comme suit : <math>\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BO}=\overrightarrow 0</math>
 
  
En projetant cette relation sur l'axe <math>\overrightarrow x</math>, on obtient : <math>e.cos \Theta + l.cos \beta - x_B = 0</math>
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En projetant cette relation dans le repère <math>R_0</math>, on obtient : <math>e.cos \Theta + l.cos \beta - x_B = 0</math>
  
 
et sur <math>\overrightarrow y</math> : <math>e.sin \Theta-l.sin \beta = 0</math>
 
et sur <math>\overrightarrow y</math> : <math>e.sin \Theta-l.sin \beta = 0</math>

Version du 15 mai 2019 à 13:54

La loi entrée sortie d'un mécanisme est l'ensemble des relations entre les paramètres de position de la pièce d'entrée et ceux de la pièce de sortie.

Fermeture géométrique

La recherche de la loi entrée/sortie dans le cas des chaines cinématiques fermées de solides se fait à l'aide d'une fermeture géométrique :

Méthode de Fermeture géométrique

Les étapes de la méthode sont:

  • On établit une chaîne fermée de vecteurs (du type ) au sein du mécanisme. Cette chaîne doit faire intervenir, entre autres, les solides considérés comme entrée et sortie du mécanisme afin de faire apparaître dans les calculs les paramètres d'entrée et sortie;
  • On projette la relation vectorielle obtenue précédemment dans un repère unique (souvent le repère globale mais pas obligatoirement) afin d'obtenir plusieurs équations scalaires;
  • On élimine le ou les paramètres internes (les paramètres qui sont ni le paramètre d'entrée, ni le paramètre de sortie) entre les équation scalaires précédentes pour obtenir un relation unique ne faisant intervenir que les paramètres d'entrée et de sortie.


Exemple : Système bielle-manivelle

Bielle-manivelle animation.gif

Le système bielle-manivelle permet de transformer un mouvement de rotation en mouvement de translation (ou inversement).

Schema cinématique et paramétrage proposé

Bielle-manivelle.svg

Pour cette étude, on note :

  • l'angle de rotation du la manivelle 1 considéré comme le paramètre d'entrée;
  • l'angle de rotation de la bielle 2;
  • tel que (la position en x du point B) considéré comme paramètre de sortie.
  • on notera les longueurs telle que et telle que

On cherche donc une relation du type qui ne fait pas apparaître le paramètre interne .

Fermeture géométrique

La fermeture géométrique faisant intervenir les pièces d'entrée et de sortie s'écrit :

Ou, en utilisant le paramétrage :

En projetant cette relation dans le repère , on obtient :

et sur  :

Il s'agit, maintenant d'éliminer le paramètre interne au mécanisme .


Avec la seconde équation, on obtient :

et en remplaçant dans la première équation on obtient la loi entrée-sortie du système bielle manivelle :

Loi entré-sortie système bielle-manivelle


Représentation de la fonction (pour e=10 et l=30) :

<svgcode width="600" height="300" >setBorder(1) initPicture(-1,30,15,45) axes(2, 2, "labels", 1) fontsize="12" stroke = "blue" strokewidth=2 plot("10*cos(x) + sqrt(30^2-10^2*sin(x)^2)",0,30) text([4.8,0.2], "ctheta") text([4,1], "s(t)", "above") text([0.2,-0.2], "0") </svgcode>

Lien externe

Animation du système bielle-manivelle