Argument d'un nombre complexe

Définition


Argument d'un nombre complexe
Un argument d’un nombre complexe non nul $z$ est une mesure (en radians) de l’angle : $({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})\equiv \theta \mod 2\pi$ où : $M\;$ est l'image de $z$ dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe $z$ et ${\overrightarrow {Ox}}$ est l'axe des réels.

On a alors :

z=\rho (\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta )=\rho \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }=\left|z\right|\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \arg z}

,

où $\rho =\left|z\right|$ représente le module de $z$ .

Souvent on note un argument du nombre complexe $z\;$ de façon simplifiée par :

\arg z=\theta

ou plus précisément :

\arg z\equiv \theta \mod 2\pi

.

$\forall \theta \not \equiv {\frac {\pi }{2}}\mod \pi \quad \tan \theta ={\frac {\Im (z)}{\Re (z)}}$ comme en coordonnées polaires et donc : $\tan \arg z={\frac {\Im (z)}{\Re (z)}}={\frac {z-{\bar {z}}}{\mathrm {i} (z+{\bar {z}})}}$ , où ${\bar {z}}$ est le conjugué de $z$ .


Calcul de l'argument par l'arctangente
Si la partie réelle de $z$ est strictement positive, $\arg z\equiv \arctan {\frac {\Im (z)}{\Re (z)}}\equiv \arctan {\frac {z-{\bar {z}}}{\mathrm {i} (z+{\bar {z}})}}\mod 2\pi$ . De manière plus générale, l'argument d'un nombre complexe peut être entièrement déterminé de la façon suivante : $\arg z=2\arctan \left({\frac {\Im (z)}{\Re (z)+\left\|z\right\|}}\right)$ , si $z$ n'est pas un réel négatif, $\pi$ sinon.

Propriétés

$\arg(z_{1}z_{2})\equiv \arg z_{1}+\arg z_{2}\mod 2\pi$ si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont des complexes non nuls.
$\arg(z^{n})\equiv n\arg z\mod 2\pi$ si $z$ est un complexe non nul et $n$ un entier relatif.
$\arg {\frac {z}{z}}'\equiv \arg z'-\arg z\mod 2\pi$ .
$\arg(az)\equiv \arg z\mod 2\pi$ si $a$ est un réel strictement positif et $z$ un complexe non nul.
$\arg(az)\equiv \arg z+\pi \mod 2\pi$ si $a$ est un réel strictement négatif et $z$ un complexe non nul.