Correcteurs à Action proportionnelles (P)

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Définition

Fonction de transfert d'un correcteur proportionnel

La FT d'un correcteur proportionnel est du type : .

Schéma bloc correcteur P.svg


C’est le procédé de correction le plus simple à réaliser. Il consiste à modifier le gain global K de la FTBO initiale en le multipliant par le gain .

Effet sur le lieu de Bode

La modification du gain de la FTBO engendrée par le correcteur proportionnel se traduit :

• sur un diagramme de BODE en gain, par la translation du lieu de transfert suivant l’axe du gain ;

• si Kp<1, la translation se fait vers le bas ;

• si Kp>1, la translation se fait vers le haut.

• sur un diagramme de BODE en phase, par aucun changement ;

Exemple : avec un correcteur proportionnel Kp= 5

Bode Correcteur P.png

Influence sur la stabilité

En remontant la courbe de gain, pour un , on augmente généralement la pulsation et donc on diminue la marge de phase. La marge de gain diminue également.

Stabilité correcteur P.png

Une augmentation trop importante de la correction proportionnelle peut conduire à l’instabilité du système.

Réglage d’un correcteur proportionnel (vis à vis de la stabilité)

Méthode graphique

Soit un système dont la marge de phase est à régler à 60°.

1) On trace une verticale à la pulsation ωφ pour laquelle la marge de phase est de 60° ;

2) On détermine la valeur en décibel de laquelle il faut translater la courbe de gain pour qu’elle s’annule à ωφ (ici -18dB, négatif car la courbe est à translater vers le bas) ;

3) On détermine tel que

On obtient la correction suivante :

Réglage correcteur P2.svg

La marge de phase obtenue sur le système corrigé est bien de 60°.

Méthode par le calcul

Pour un système dont la FTBO est de la forme ,si on veut une marge de phase de 60°, on écrit :

On utilise ensuite cette valeur dans le gain du système corrigé pour l’annuler à :

FTBO du système corrigé :

Cette démarche est susceptible d’être mise en œuvre en autonomie dans les sujets de concours.

Influence sur la précision

Un correcteur proportionnel ne peut pas annuler l'erreur statique d'un système.

L’erreur statique d’un système, quand elle n’est pas nulle ou infinie, est de la forme :

  • pour un échelon et une classe de la FTBO égale à 0
  • pour une rampe ou une accélération et une classe de la FTBO égale à, respectivement, 1 ou 2

avec K le gain statique de la FTBO non corrigée. (Voir Précision des SLCI#Précision en poursuite d’un système à retour unitaire).

En augmentant , on augmente le gain de la FTBO, on réduit l’écart statique et donc on augmente la précision du système.

Réglage de vis à vis de la précision

En exprimant l’écart statique en fonction de , on peut donc régler la précision en fonction du cahier des charges.

Par exemple, si le cahier des charges impose que l'erreur maximum en réponse à un échelon d'amplitude reste inférieure à , on obtient l'inégalité suivante à résoudre :

Influence sur la rapidité

On remarque que le système voit sa rapidité augmenter avec mais, avec l’apparition des oscillation, le temps de réponse fini par se dégrader.

Rapidité Kp.png

Réglage vis à vis de la rapidité

La rapidité est caractérisée soit par (1er ordre) soit par (second ordre). En exprimant les caractéristiques de la FTBF mise sous forme canonique en fonction de , on peut en déterminer la valeur.

Influence sur le comportement face aux perturbations

Le modèle corrigé avec perturbation est donné ci dessous :

Schéma bloc erreur écart perturbation Kp.svg

Exemples de réponse pour différentes valeurs de Kp, (perturbation à 10s) :

Perturbation selon Kp.png

On remarque que plus la valeur de Kp est importante, plus la perturbation est absorbée.

L’écart du à la perturbation de type échelon ( ) est donné par :

On intéresser au cas ou H(p) est de classe 0 (sinon, l’ecart est nul)

L’écart du à la perturbation est donc réduit avec l’augmentation de .

Réglage vis à vis du comportement face aux peturbations

En exprimant l’écart du aux perturbation en fonction de et en comparant avec le critère du cahier des charges, on peut en déterminer la valeur de .


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