Correction des SLCI

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Correcteurs à effet intégral

Correcteur intégral pur

La fonction de transfert d’un correcteur intégral pur est





Diagramme de Bode du correcteur: Effet sur la FTBO  (pour un 1er ordre)

[[Image:]]


















Ce correcteur amplifie las basses fréquences et atténue les hautes fréquences. La phase est retardée de 90° pour toutes les fréquences.

Grâce à l’ajout d’un intégrateur, la FTBO monte de classe et la précision est améliorée.


Inconvénient majeur : la phase est diminuée de 90° se qui dégrade la marge de phase et la marge de gain. La stabilité est dégradée.


Ce correcteur est donc souvent associé à un correcteur proportionnel.

Correcteur à effet proportionnel/intégral (PI)

La fonction de transfert d’un correcteur proportionnel intégral est avec

C’est le cumul des effets des correcteurs proportionnel et intégral.

[[Image:]]














Grâce à l’ajout d’un intégrateur, la FTBO monte de classe et la précision est améliorée.

[[Image:]]












Il ne diminue plus la phase pource qui préserve la marge de phase ( si )

Par ailleurs, un correcteur Proportionnel Intégral :

• permet d’annuler l’écart statique dans le cas d’une entrée échelon de la consigne si celui-ci

n’était pas déjà assuré (FTBO de classe ≥ 1) ;

• permet de rejeter une perturbation du type échelon lorsque l’intégrateur est placé en amont

(avant) la perturbation, si celle-ci n’était pas déjà assurée.

Remarque :

Sur le plan technologique, ce type de correcteur est sensé avoir un gain infini lorsque la pulsation tend vers zéro (à l’arrêt) ce qui pose problème dans la réalité car on ne peut atteindre ni même approcher une puissance infinie. On utilise alors un correcteur à retard de phase qui règle ce problème à basse fréquences.


Réglage par la méthode de compensation de pôle dominant

Le principe de cette méthode est d’éliminer de la FTBO le pôle dominant, cad celui qui a la plus grande constante de temps, et qui est donc susceptible de ralentir le système.

[[Image:]]Soit un système dont la FTBO est :

Lieu de Bode de la FTBO:




Le système n’est pas précis (classe de la FTBO = 0). Sa marge de phase est d’environ 55°.


On veut rendre le système précis tout en préservant une marge de phase de 55°.

1) On identifie la constante de temps la plus grande. Ici, c’est = 0,1s.

[[Image:]]2) On choisi pour compenser cette constante de temps et on laisse pour l’instant . La FT du correcteur est donc (pour l’instant) :

3) On trace le lieu de Bode du système corrigé avec ce correcteur :

Le système est précis mais la marge de phase n’est que de 35°.

4) On calcule Kp pour obtenir la marge de phase désirée (même méthode que pour le correcteur proportionnel). Ici il faut « baisser » la courbe de gain de 9,3 dB environ, ce qui fait une valeur de Kp à .

Système corrigé obtenu :

[[Image:|top]]












Le système est précis et la marge de phase est bien à 55°


==== Réglage par l’expérimentation (FTBO du système inconnue)

==

La méthode diffère car la FTBO, et donc le pôle dominant ne sont pas connus algébriquement :

[[Image:]]1 décade1)On règle la coupure du correcteur PI () une décade avant la pulsation à 0dB de la FTBO. Ici, la pulsation à 0dB de la FTBO est d’environ 28 rad/s, donc on règle rad/s.

Le système est précis mais la marge de phase est légèrement dégradée (49,7°).

2) Comme précédemment, on calcule Kp pour obtenir la marge de phase désirée. Ici il faut « baisser » la courbe de gain de 1,7 dB environ, ce qui fait une valeur de Kp à .

Système corrigé obtenu :

[[Image:]]













Le système est précis et la marge de phase est bien à 55°


==== Correcteur à retard de phase

==

Afin de parer au problème du gain infini à basse fréquences, on utilise souvent un correcteur PI « réel », aussi appelé correcteur à retarde de phase.

La fonction de transfert d’un correcteur à retard de phase est : avec

[[Image:]]









Il est utilisé pour augmenter le gain de la FTBO à basse fréquences (mais pas lorsque) et améliore la précision du système.

D’une façon général, ce correcteur améliore la précision et la stabilité, mais diminue la rapidité du système.

[[Image:]]












Les méthodes de réglage de ce correcteur ne sont pas exigibles lors des concours.

Correction à action dérivée

==== Correcteur dérivateur pur

==

Le correcteur dérivateur pur est purement théorique et ne peut exister réellement car il comporterait une phase en avance de 90° sur toute la plage de fréquence, ce qui ne respecte pas le principe de causalité.


==== Correction proportionnelle/dérivée

==

La fonction de transfert d’un correcteur proportionnel dérivé est , que l’on peut mettre sous la forme :

[[Image:]]




On obtient la correction suivante : * augmentation de la phase de +90° pour

  • amplifie les hautes fréquences (augmente aussi les bruits de mesure, de parasites… ce qui pose probème).



Ce correcteur est difficile à régler vis à vis de la stabilité et notamment de la marge de phase. En effet, si est au-delà de la pulsation de coupure, le correcteur n’améliore pas la marge de phase.

Si au contraire si est trop bas, l’action sur le gain dégrade également la marge de phase.

On préfère en général utiliser un correcteur à avance de phase ( ou correcteur PD réel).


==== Correction à avance de phase

==

La fonction de transfert d’un correcteur à avance de phase est : avec

[[Image:|top]]















Ce correcteur augmente la phase dans une bande de fréquence comprise entre et . L’augmentation maximum de la phase est à et vaut . Cette « bosse » dans la phase permet de modifier localement la phase pour optimiser la stabilité du système.

Il n’amplifie pas démesurément les hautes fréquences (pas de pb avec le bruit).

Le gain est augmenté de dans les hautes fréquences et de au niveau de la « bosse » de phase (). Ceci permet d’augmenter la bande passante du système et donc sa rapidité.

[[Image:]]












On constate ici que la bande passante (et donc la rapidité) du système est augmentée mais que la marge de phase n’est pas affectée. La marge de gain est légèrement diminuée.


Réglage du correcteur à avance de phase

[[Image:]]Une des méthode possible est la suivante. D’autre méthode peuvent être proposées dans les sujets de concours.

Soit le système suivant à corriger :

On veut notamment augmenter la marge de phase à 45°.

1) On recherche la pulsation pour laquelle le gain est égal à 0dB et la marge de phase. Ici et .

2) On détermine pour obtenir la marge de phase désirée. Ici, il faut augmenter la phase de 20° à , donc :

Échec d'analyse (fonction inconnue « \phantom »): {\displaystyle \arcsin \left(\frac{\mathrm{\alpha }-1}{\mathrm{\alpha }+1}\right)=20\circ \phantom{\rule{1.5em}{0ex}}\Rightarrow \phantom{\rule{1em}{0ex}}\mathrm{\alpha }\left(1-\sin 20\circ \right)=1+\sin 20\circ \phantom{\rule{1.5em}{0ex}}\Rightarrow \phantom{\rule{1em}{0ex}}\mathrm{\alpha }=\frac{1+\sin 20\circ }{1-\sin 20\circ }\simeq \mathrm{2,04}}

3) On place la « bosse » de phase du correcteur à Échec d'analyse (fonction inconnue « \phantom »): {\displaystyle {\mathrm{\omega }}_{0\mathit{dB}}=35=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\tau }}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\Rightarrow \phantom{\rule{1em}{0ex}}\mathrm{\tau }=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{2,04}}\times 35}\simeq \mathrm{0,02}}

4) On trace le système corrigé provisoire pour Kp = 1 :

[[Image:]]














La marge de phase est de 36,6° pour l’instant.

5) On détermine Kp tel que le gain soit nul à .

Ici, il faut descendre la courbe de gain de 1,8 dB, soit

Ce qui donne la correction finale suivante :

[[Image:|top]]














La marge de phase est bien à 45°.


Correcteur PID (proportionnel, intégral, dérivé)

Le correcteur PID théorique a la fonction de transfert suivante :. Il cumule les effets de correcteurs PI et PD vus précédemment et aussi leurs défauts (notamment dans les fréquences extrêmes).










Le PID réel est est la combinaison du retard et avance de phase : avec et  .












Ce correcteur cumul les bénéfices de chacune des actions proportionnelle, intégrale et dérivée.

Modèle:Clear [[Image:|center]]Mais son réglage est délicat car chaque action peut avoir un effet positif si elle est bien placée et négatif sinon.

L’action intégrale (retard de phase) est placée en basses fréquences pour améliorer la précision sans perturber les marges de stabilité.

L’action dérivée (avance de phase) est placée à l’endroit ou les marges sont mesurées, l’objectif étant d’augmenter la marge de phase.

La correction proportionnelle permet de jouer sur la pulsation de coupure, ce qui affecte la rapidité du système.

Récapitulatif des correcteurs 

Les effets pour chaque correcteurs sont donnés à titre indicatif pour éventuellement orienter un chaoix de correcteur. Mais ils dépendent beaucoup des réglages et du système à corriger.


Correcteur Stabilité Rapidité Précision Commentaire
proportionnel (P)

sauf si des oscillations apparaissent

Si
Intégral pur

↓↓ ↑↑
Proportionnel Intégral (PI)

(si )

↑↑
à retard de phase

Si =
à avance de phase

PID

A voir selon les réglages