Diagramme de Bode des systèmes du second ordre

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Cas des systèmes du 2nd ordre apériodiques (z>1)

En factorisant le dénominateur, on a et

Diagramme de gain

Le système est équivalent à deux systèmes du 1er ordre placés en série. On peut donc décomposer le tracé du diagramme de Bode en deux fonctions du 1er ordre, soit :

Caractéristiques :

  • donc asymptote horizontale au niveau à basse fréquences.
  • donc asymptote oblique de pente -40 dB/décades à hautes fréquences
  • L'intersection des deux asymptotes : ce qui constitue la pulsation de coupure.
  • Si on considère ce diagramme comme la somme de deux courbes de gain du premier ordre, on peut considérer une asymptote intermédiaire à - 20dB/décades entre et

On obtient le diagramme de gain suivant (, , ) :

Gain second ordre apériodique2.svg

Diagramme de phase

Caractéristiques de la courbe de phase

  • Pour  : asymptote horizontale au niveau 0° à basses fréquences;
  • Pour  : asymptote horizontale au niveau -90° à hautes fréquences;
  •  : point de passage particulier à -180° pour ;
  • Par addition de digrammes de phase du premier ordre, on peut considérer une asymptote intermédiaire horizontale à -90° entre et .

Phase second ordre apériodique2.svg

Synthèse

Diagramme de Bode d'un second ordre apériodique

Gain second ordre apériodique2.svg

  • asymptote horizontale au niveau 20 log(G) à basse fréquences;
  • asymptote oblique de pente -40 dB/décades à hautes fréquences;
  • intersection des deux asymptotes à la pulsation naturelle ;
  • asymptote intermédiaire à - 20dB/décades entre et ;

Phase second ordre apériodique2.svg

  • asymptote horizontale au niveau 0° à basses fréquences;
  • asymptote horizontale au niveau -180° à hautes fréquences;
  • point de passage particulier à -90° pour ;
  • asymptote intermédiaire horizontale à -90° entre et .

Cas des systèmes du 2nd ordre périodiques (z<1)

Le dénominateur ne peux pas être factorisé avec des racines réelles.

Diagramme de gain

Caractéristiques :

  • donc asymptote horizontale au niveau à basse fréquences.
  • donc asymptote oblique de pente -40 dB/décades à hautes fréquences
  • L'intersection des deux asymptotes : ce qui constitue la pulsation de coupure.

Exemple de diagramme de gain pour

Gain second ordre périodique.svg

Résonnance

Par une étude des extremums, on établi que la courbe présente un maximum pour , pulsation de résonnance que l'on note .

Le maximum à la résonnance, appelé surtension, est défini par :

.

Gain second ordre périodique zoom2.svg

Diagramme de phase

  • , asymptote horizontale à 0° à basses fréquences;
  • , asymptote horizontale à -180° à hautes fréquences;
  • .

Phase second ordre périodique.svg

Synthèse

Diagramme de Bode - second ordre périodique

Gain second ordre périodique synthèse.svg

  • asymptote horizontale au niveau à basse fréquences;
  • asymptote oblique de pente -40 dB/décades à hautes fréquences;
  • pulsation de coupure à ;
  • pulsation de résonance à ;
  • surtension : .

Phase second ordre périodique.svg

  • asymptote horizontale à 0° à basses fréquences;
  • asymptote horizontale à -180° à hautes fréquences;
  • .


Influence de z

Pour bien comprendre l'influence de z sur la forme du diagramme de Bode, il est intéressant de superposer plusieurs tracé correspondant à différentes valeurs de z.

Tracés pour variant de 0.02 à 2 :

Bode second ordre z variable2.svg

On peut remarquer que le maximum correspondant à la résonance n’apparaît que pour les valeurs de inférieures à (correspondant à ).

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