Loi entrée/sortie d'un mécanisme par fermeture cinématique

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Principe

Fermeture cinématique

Soit un mécanisme composé d'une chaîne fermée de n solides et n liaisons.

La fermeture cinématique s’obtient en écrivant la somme nulle de tous les torseurs de la chaine fermée en un même point :

Méthode

La méthode consiste essentiellement choisir :

  • le point de réduction commun aux torseurs cinématiques écrits;
  • la ou les équation(s) à utiliser (toutes ne sont pas utiles en général).

Ces choix se feront en respectant les directions suivantes :

  • On choisira donc un point de réduction qui fait partie d'un maximum des domaines de validités des torseurs concernés, évitant au maximum d'utiliser le théorème de Varignon;
  • On choisira un repère de projection des torseurs dans lequel ceux-ci ont leur expression la plus simple;
  • La ou les équation(s) choisies doivent faire intervenir les paramètres d'entrée/sortie et éviter au maximum de faire apparaître les paramètres internes indésirables.



Exemple : Système poussoir/excentrique

Xantia6pf-2.gif

Crédit : Bruno Causse - CPGE Armentières

Le système poussoir/excentrique permet de transformer un mouvement de rotation en mouvement de translation. Il est utilisé ici pour obtenir un mouvement alternatif des pistons de la pompe.

Schema cinématique et paramétrage proposé

Excentrique-poussoir.svg

Pour cette étude, on note :

  • l'angle de rotation du l'excentrique 1 considéré comme le paramètre d'entrée;
  • tel que (la position en x du point A) considéré comme paramètre de sortie.
  • on notera l'excentration de la pièce 1 telle que
  • on notera le rayon du cylindre excentré :

modélisation des liaisons

Les torseurs cinématiques impliqués dans la chaine de solides 0-1-2 sont :

Liaison 0/1 : pivot d'axe

Liaison 1/2 : linéaire rectiligne d'axe et de normale

Liaison 2/0 : pivot glissant d'axe


Fermeture cinématique

Choix du point de réduction et de l'équation :

Ici, les paramètres d'entrée et de sortie sont et .

Les paramètres cinématiques de la liaison linéaires rectiligne (, , et ) sont indésirables dans la loi entrée/sortie que nous cherchons.

En utilisant l'équation des vitesses (moments des torseurs cinématiques) au point I en projection sur on évite d'emblée d'introduire ces paramètres dans le système d'équation.


La fermeture cinématique dans la chaine de solides 0-1-2 au point I s'écrit:

Ou encore :


L'équation de fermeture des vitesses en I s'écrit :

Avec le théorème de Varignon et en projection sur :

(1)

Or

Et

Les deux premiers termes sont des produits mixtes nuls, donc :

En remplaçant dans (1) :

On obtient donc la loi entrée/sortie cinématique :


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