Outils de dérivation vectorielle

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Dérivation directe ou en coordonnées cartésiennes

Soit un vecteur repéré dans le repère par . La dérivée temporelle de ce vecteur par rapport au repère R s'écrit :

Les vecteurs et étant constant au cours du temps dans le repère R, leurs dérivées sont nulles, donc :

Pour simplifier l'écriture, on note donc :

Si le vecteur n'est par projeté dans R mais dans un autre repère en mouvement par rapport à R, son expression devient alors . Les vecteurs et n'étant pas forcement constants au cours du temps dans le repère R, leurs dérivées sont non nulles.

Donc il faut:

  • soit projeter le vecteur dans R. Les calculs deviennent alors assez lourds du fait de l'apparition de fonctions sin et cos à dériver.
  • soit de calculer et (voir paragraphe suivant)

Dérivation composée - Formule de Bour

Dérivée temporelle d'un vecteur unitaire par rapport à un repère- Cas particulier d'une seule rotation

Soit la base d'un repère mobile par rapport à R.


[[Image:Rotation_{repere}.PNG|thumb|200px]]

Dans un premier temps, on considère que est orienté par une seule rotation autour d'un axe de R, par exemple une rotation d'angle autour de alors : et

et

et comme on a :

Généralisation - composition des vitesses de rotation

Soient n bases définies les unes par rapport aux autres par des vecteurs vitesse de rotation successifs .

On peut écrire :

On peut donc généraliser les résultats du paragraphe précédent à un repère issu de R par un vecteur vitesse de rotation quelconque (et non plus seulement confondu avec un axe de R). On obtient alors :


Dérivée temporelle d'un vecteur quelconque par rapport à un repère

Rotation repere quelconque.PNG

Soit un vecteur repéré dans le repère par .

Le repère est défini par rapport au repère R par son vecteur vitesse de rotation quelconque.

La dérivée temporelle de dans s'écrit :

Si on cherche sa dérivée temporelle par rapport à R :

D'où :

Formule de Bour


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