Paramétrage d'un mécanisme - figures de changement de base

Le paramétrage d'un mécanisme consiste à introduire des variables géométrique servant à décrire, au moyen d'outils mathématique, la cinématique d'un mécanisme.

Hypothèses

• Les pièces constitutives sont supposées indéformable;
• A chaque solide `S_i` on associe un repère `R_i(vec (x_i), vec (y_i), vec (z_i));
• Les liaisons sont supposées parfaites, c'est à dire sans jeu et sans frottement.

Paramétrage

Le paramétrage consiste à définir :

• un repère associé à chaque classe d'équivalence du mécanisme.
• le (ou les) paramètre(s) permettant de définir la position spatiale de chaque repère.

Exemple : Robot manipulateur

L'intérêt du paramétrage est de pouvoir donner une expression mathématique de la position d'un objet saisi par la pince du bras manipulateur en fonction des différents angles de rotations entre les différents parties du robot. Ceci afin d'élaborer une commande de pilotage donnant une trajectoire attendue.

Description

On considère un robot manipulateur constitué des classes d'équivalences suivantes :

• 0 : le socle considéré comme fixe;
• 1 : la chaise en liaison pivot par rapport au socle;
• 2 : le bras en liaison pivot par rapport à la chaise 1;
• 3 : l'avant bras en liaison pivot par rapport au bras 2;
• 4 : le poignet en liaison pivot par rapport à l'avant bras 3;
• 5 : la pince en liaison pivot par rapport au poignet 4;

On pose le repère `R_0(O_0,vec(x_0),vec(y_0),vec(z_0))` lié au socle 0 et considéré comme fixe.

Repère lié à la chaise 1

La chaise 1 étant en liaison pivot d'axe `(O_0,vec(z_0))`, le mouvement possible entre 0 et 1 est une rotation d'axe `(O_0,vec(z_0))`. On peut donc poser un repère `R_1(O_1,vec(x_1),vec(y_1),vec(z_1))` lié à la chaise 1 tel que `vec(z_1)=vec(z_0)` et `O_0=O_1`. On pose `Theta_(01)=(vec(x_0),vec(x_1))=(vec(y_0),vec(y_1)).

Figure de changement de base

Afin de clarifier la compréhension du mécanisme et d'écrire facilement les relations de passage de la base `R_0` à `R_1`, on réalise une figure de changement de base, c'est à dire une figure en projection plane qui montre l'angle de passage entre les deux bases.

A retenir

Afin que les angles représentés soient positifs, Il est important : d'utiliser des repères orthonormés directs; de poser des paramètres angulaires compris entre 0 et `pi/2` (environ 30°); de représenter le changement de repère par une projection plane faisant apparaitre l'angle de passage dans le sens trigonométrique. On représenter cet angle de façon positive par rapport à l'orientation des repères même si il est négatif dans la position particulière représentée du mécanisme.

On peut alors écrire les relations entre les axes des deux repères :

• `vec(x_1)=cos Theta_(01).vec(x_0)+sin Theta_(01).vec(y_0)
• `vec(y_1)=cos Theta_(01).vec(y_0)-sin Theta_(01).vec(x_0)

On peut également écrire le vecteur vitesse de rotation entre 0 et 1 : `vec(Omega_(1 // 0)) = dot(Theta_(01)).vec(z_0)`.

Et le torseur cinématique du mouvement de 1 par rapport à 0 :

`{V_(1 // 0)}_(O_1) = {(dot(Theta_(01)).vec(z_0)), (vec(0)):} }_(O_1) `

Repère lié au bras 2

Le bras étant en liaison pivot d'axe `(O_2,vec(y_1))`, le mouvement possible entre 1 et 2 est une rotation d'axe `(O_2,vec(y_1))`. On peut donc poser un repère `R_2(O_2,vec(x_2),vec(y_2),vec(z_2))` lié à l'avant-bras 2 tel que `vec(y_2)=vec(y_1)` et `0_2` posistionné au centre de la liaison pivot entre 1 et 2. On pose `Theta_(12)=(vec(x_1),vec(x_2))=(vec(z_1),vec(z_2))`.

De la même manière :

• `vec(x_2)=cos Theta_(12).vec(x_1)-sin Theta_(12).vec(z_1)
• `vec(z_2)=cos Theta_(12).vec(z_1)+sin Theta_(12).vec(x_1)

`{V_(2 // 1)}_(O_2) = {(dot(Theta_(12)).vec(y_1)), (vec(0)):} }_(O_2) `

Autres repères liés aux classes d'équivalences 3 et 4

L'avant-bras et le poignet sont également liés au bras et à l'avant bras par des liaisons pivot d'axe `(O_3,vec(y_2))` et `(O_4,vec(y_2))`.

On peut donc poser des repères `R_3` et `R_4` et les angles `Theta_(23)` et `Theta_(34)`.

De la même manière :

• `vec(x_3)=cos Theta_(23).vec(x_2) - sin Theta_(23).vec(z_2)
• `vec(z_3)=cos Theta_(23).vec(z_2)+sin Theta_(23).vec(x_2)

`{V_(3 // 2)}_(O_3) = {(dot(Theta_(23)).vec(y_2)), (vec(0)):} }_(O_3) `

et

• `vec(x_4)=cos Theta_(34).vec(x_3) - sin Theta_(34).vec(z_3)
• `vec(z_4)=cos Theta_(34).vec(z_4)+sin Theta_(34).vec(x_3)

`{V_(4 // 3)}_(O_4) = {(dot(Theta_(34)).vec(y_3)), (vec(0)):} }_(O_4) `

Repère lié à la pince 5

La pince étant en liaison pivot d'axe `(O_5,vec(x_4))`avec l'avant bras 4, le mouvement possible entre 4 et 5 est une rotation d'axe `(O_5,vec(x_4))`. On peut donc poser un repère `R_5(O_5,vec(x_5),vec(y_5),vec(z_5))` lié à la pince 5 tel que `vec(x_5)=vec(x_4)` et `0_5` positionné au centre de la liaison pivot entre 4 et 5. On pose `Theta_(45)=(vec(y_4),vec(y_5))=(vec(z_4),vec(z_5))`.

De la même manière :

• `vec(y_5)=cos Theta_(45).vec(y_4)+sin Theta_(45).vec(y_4)
• `vec(z_5)=cos Theta_(45).vec(z_4)-sin Theta_(45).vec(z_4)

`{V_(5 // 4)}_(O_5) = {(dot(Theta_(45)).vec(x_5)), (vec(0)):} }_(O_5) `

Schéma cinématique avec paramétrage

On peut représenter tous le paramètres introduits ci-dessus au moyen d'un schéma cinématique général du système.

Repères en translation

Lorsque deux solides `S_1` et `S_2` sont en translation, on peut éventuellement leur attacher des repères dont les axes sont confondus et dont les origines sont définies l'une par rapport à l'autre par un vecteur.