Stabilité des SLCI

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Dans les systèmes étudiés en SII, on recherche la stabilité et on évite l’instabilité, source de vibrations et d’efforts importants qui conduisent à la fatigue prématurée des pièces mécaniques. On comprend bien également qu’un système instable ne peut être ni précis, ni rapide.

La stabilité d'un système asservi peut être étudiée de différentes manières.

Stabilité entrée bornée - sortie bornée

Ce type de stabilité est évaluée au moyen d'une étude temporelle.

A retenir

Un système est stable au sens EB-SB (entrée bornée – sortie bornée) si à une entrée bornée il répond par une sortie bornée.


Évaluation de la stabilité par les pôles de la FTBF

Cas général

On peut analyser la fonction de transfert H(p) d’un système asservi de la façon suivante :

ou , ... sont les pôles de la fonction de transfert. Certains sont réels, certains sont complexes conjugés.

Remarque : La fonction de transfert d’un asservissement (système bouclé) a forcement des pôles non nuls (pas d’intégrateurs purs) .

On se place dans le cas d’une réponse à une impulsion () :

que l’on peut décomposer en éléments simples :

et on obtient la sortie temporelle suivante :

Pour les pôles réels, on obtiendra des termes de type qui convergeront seulement si est négatif

Pour les pôles complexes, on obtiendra des pôles de la forme donnant des termes de type qui convergeront seulement si la partie réelle des pôles est négative.

Stabilité d'un SLCI par les pôles de la FTBF

Un système est stable si sa fonction de transfert ne présente que des pôle à partie réelle négative.


Cas d'un système du premier ordre

Prouvons que est stable.

Réponse à une impulsion : . Le dénominateur s’annule pour . La constante de temps étant physiquement positive, p₀ est l’unique un pôle réel négatif de H(p) donc le système est stable.

Cas d'un système du second ordre

Prouvons que est stable.

Réponse à une impulsion : .

Si z>1, le dénominateur se met sous la forme avec et . La pulsation et le coefficient d’amortissement étant positifs, est forcement négatif.

peut se mettre sous la forme or implique que . Donc est négatif également.

Si z<1, . Les pôles complexes conjugués sont de la forme : de partie réelle négative.

Si z=1, on a un pôle double réel négatif.

Conclusion

En conclusion, on peut écrire :

Stabilité des systèmes du premier et second ordre

Un système dont la fonction de transfert peut se mettre sous la forme (avec positif) ou (avec et positifs) est stable.

Critère de Revers

Utilisation de la FTBO

Pour établir le critère de Revers, on utilise le fait que la stabilité d’un système en boucle fermée dépend du comportement du système en boucle ouverte. En effet le système suivant :


Schéma bloc G K.svg

a pour fonction de transfert .

La FTBO s’écrit : .

L’équation caractéristique (cad le dénominateur de ) est donc :

Cas du système à retour unitaire

On utilise souvent une représentation du système par un schéma bloc à retour unitaire. On peut prouver que l’on peut toujours s’y ramener.

Schéma bloc G.svg


La particularité d’un tel schéma est que la FTCD et la FTBO sont égales. On peut écrire simplement :

L’équation caractéristique est donc :

Point critique

Le point critique est le point -1 (module de 1 et argument -180° dans le plan complexe ). Lorsque le lieu de la FTBO approche ce point, le dénominateur de la FTBF devient très grand.

Ce point critique correspond donc à un lieu d’instabilité que l’on doit éviter pour garantir la stabilité du système.


Représentation du point critique sur le plan complexe sur le plan de Black (hors programme)

On peut représenter le lieu de la FTBO sur le plan complexe (diagramme de Nyquist) .La stabilité du système est caractérisée par la position du lieu de sa FTBO par rapport au point critique.

Nyquist point critique.svg

On montre, au moyen du théorème de Cauchy (hors programme) que le point de critique doit être évité mais aussi laissé sur la gauche du lieu de la FTBO (parcouru dans le sens des ω croissants) pour garantir la stabilité du système.

On peut représenter également le lieu de la FTBO sur le plan de Black (hors programme).

Black point critique.svg

Le point critique est ici le point correspondant à un gain de 0 dB (20 log 1) et de déphasage -180°. La stabilité du système est caractérisée par la position du lieu de sa FTBO par rapport au point critique.

On montre, au moyen du théorème de Cauchy (hors programme) que le point de critique doit être évité mais aussi laissé sur la droite du lieu de la FTBO (parcouru dans le sens des ω croissants) pour garantir la stabilité du système.


Marges de stabilité

Pour donner une marge de stabilité, on fait en sorte que le lieu de la FTBO passe à une certaine distance du point critique, définissant ainsi :

  • une marge de gain (MG) mesurée sur l’axe horizontale (dB) sous le point critique ;
  • une marge de phase (Mφ) mesurée sur l’axe verticale (°) à droite du point critique.


Dans le cas général, pour un système mécanique, les marges de gain et de phase minimales pour garantir la stabilité sont de 10dB et de 45°. Ces valeurs sont précisées ou affinées dans chaque sujet de concours par l’intermédiaire du cahier des charges.

Marges de stabilité sur le diagramme de Bode

Marges de stabilité sur le diagramme de Bode
Sur le diagramme de Bode, les marges de stabilité peuvent être déterminées comme suit :
  • La marge de phase se mesure à la pulsationtelle que . La marge de phase Mφ est la distance verticale mesurée positivement vers le haut entre la courbe et la droite horizontale à φ = -180° sur le diagramme de phase.
  • La marge de gain se mesure à la pulsationtelle que . La marge de gain MG est la distance verticale mesurée positivement vers le haut entre la courbe et la droite horizontale à G=0 dB sur le diagramme de gain.
Bode marges stabilité .svg

Si une des deux marges mesurées ci-dessus est négative, le système est considéré comme instable.

Remarques :

- pour un système du premier ordre ou du second ordre, le déphasage est borné au maximum à -180 °, la marge de gain est alors infinie.

- Les marges de gain et de phase peuvent être déterminées par calcul


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