Systèmes du second ordre

Fonction de transfert

Un système du second est régi par une équation différentielle du second ordre du type $a_{0}.e(t)=b_{0}.s(t)+b_{1}{\frac {ds(t)}{dt}}+b_{2}{\frac {d^{2}s(t)}{dt^{2}}}$

Par transformation dans le domaine de Laplace :

$H(p)={\frac {S(p)}{E(p)}}={\frac {a_{0}}{b_{2}p^{2}+b_{1}p+b_{0}}}$ (Remarque tous les coefficients sont positifs)

Que l’on peut la mettre sous forme canonique :

Forme canonique - système du second ordre

$H(p)={\frac {G}{{\frac {p^{2}}{\omega _{n}^{2}}}+{\frac {2z}{\omega _{n}}}p+1}}$ avec : $G$ : Gain statique; $\omega _{n}$ : Pulsation naturelle (ou pulsation propre non-amortie) en rad/s; $z$ : Coefficient d'amortissement.

Les racines du dénominateur$p_{1}$ et $p_{2}$ sont les pôles de $D(p)$ : ${\frac {p^{2}}{\omega _{n}^{2}}}+{\frac {2z}{\omega _{n}}}p+1=(p-p_{1})(p-p_{2})$

Les pôles sont réels ou complexes suivant le signe du discriminant $\Delta ={\frac {4}{\omega _{n}^{2}}}(z^{2}-1)$

On aura donc trois cas à traiter suivant les valeurs de z : $z>1$ ; $z=1$ et $z<1$

Cas : z > 1 ($\Delta >0$) - Régime apériodique

Dans ce cas les deux pôles sont réels et négatifs (somme < 0 et produit > 0 )

On pose $p_{1}=-1/\tau _{1}$ et $p_{2}=-1/\tau _{2}$ , ce qui permet d’écrire :

Pour $z>1$ ($\Delta >0$)

On peut alors factoriser le dénominateur et écrire la fonction de transfert sous la forme canonique suivante : $H(p)={\frac {G}{(1+\tau _{1}p).(1+\tau _{2}p)}}$

Le système est équivalent à deux systèmes du 1er ordre placés en série.

$G$

${\frac {1}{1+\tau _{1}p}}$

${\frac {1}{1+\tau _{2}p}}$

On a $p_{1}.p_{2}=\omega _{n}^{2}$ (points conjugués)

on pose $\tau _{1}.\tau _{2}=\tau _{n}^{2}=1/\omega _{n}^{2}$

On peut calculer $2z={\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{\sqrt {\tau _{1}.\tau _{2}}}}$

Position des pôles dans le plan complexe :

Réponse à une entrée échelon: ${\frac {E_{0}}{p}}$

$S(p)=E_{0}G.({\frac {1}{p(1+\tau _{1}p)(1+\tau _{2}p)}})$

dont la transformée inverse est: $s(t)=E_{0}G[1+{\frac {1}{\tau _{2}-\tau _{1}}}(\tau _{1}.e^{-t/\tau _{1}}-\tau _{2}.e^{-t/\tau _{2}})]u(t)$

Tracé pour $G=1$ et $z=2$ :

• La réponse présente une tangente horizontale à l'origine. Cette caractéristique permet de différencier cette réponse de la réponse indicielle d'un premier ordre.
• Il est intéressant de comparer cette réponse avec la réponse à un échelon $S^{1}(p)$ d’un système du premier ordre dont la constante de temps est égale à la plus grande des constantes de temps (par exemple $\tau _{2}$ ) :

$S^{1}(p)=E_{0}G.(1-e^{-t/\tau _{2}})$

Cas z = 1 ($\Delta =0$) - Amortissement critique

• On a une racine double réelle négative.
• On pose $p_{1}=p_{2}=-\omega _{n}$ et $\omega _{n}=1/\tau$.

$\omega _{n}$ est la pulsation naturelle (ou encore pulsation propre non amortie).

On peut alors mettre la fonction sous la forme :

Pour $z=1$ ($\Delta =0$)

$H(p)={\frac {G\omega _{n}^{2}}{p^{2}+2z\omega _{n}p+\omega _{n}^{2}}}=G.{\frac {\omega _{n}^{2}}{(p+\omega _{n})^{2}}}$

Réponse à une entrée échelon unitaire

$S(p)=G.{\frac {1}{p}}.{\frac {\omega _{n}^{2}}{(p+\omega _{n})^{2}}}$ en décomposant en éléments simples :

$S(p)=G.[{\frac {1}{p}}+{\frac {-1}{p+\omega _{n}}}+{\frac {-\omega _{n}}{(p+\omega _{n})^{2}}}]$

Dont la transformation de Laplace inverse est :$s(t)=G.[1-e^{\frac {-t}{\tau }}-{\frac {t}{\tau }}e^{\frac {-t}{\tau }}]u(t)=G[1-e^{\frac {-t}{\tau }}(1+{\frac {t}{\tau }})]u(t)$ avec $\tau =1/\omega _{n}$

Tracé pour $G=2$ et $z=1$ :

Cas z < 1 ($\Delta <0$) - Régime périodique

Le discriminant est négatif, les pôles sont complexes conjugués.

Réponse à un échelon unitaire

On part de la même équation:$H(p)={\frac {G\omega _{n}^{2}}{p^{2}+2z\omega _{n}p+\omega _{n}^{2}}}$

$S(p)={\frac {1}{p}}.H(p)$

$\Delta =4\omega _{n}^{2}(z^{2}-1)$ .... négatif

$p_{1}=\omega _{n}(-z-i{\sqrt {1-z^{2}}})$

$p_{2}=\omega _{n}(-z+i{\sqrt {1-z^{2}}})$

Après transformation inverse de Laplace, on obtient une sortie s(t) de la forme :$s(t)=G.[1-{\frac {e^{-z\omega _{n}t}}{\sqrt {1-z^{2}}}}\sin(\omega t+\varphi )]u(t)$

Courbe de réponse pour z=0,3

On peut décrire les caractéristiques suivantes :

Pulsation amortie ou pseudo-pulsation

La pulsation amortie, ou encore pseudo-pulsation $\omega$ visible sur la courbe est (légèrement) inférieure à la pulsation naturelle $\omega _{n}$. $\omega =\omega _{n}{\sqrt {1-z^{2}}}$ La période T de la réponse est donc $T={\frac {2.\pi }{\omega }}={\frac {2.\pi }{\omega _{n}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$

Premier dépassement

Le premier dépassement correspond au maximum de la fonction représenté ci-dessus mesuré au dessus de l'asymptote finale (voir courbe ci-dessus). Le temps du premier dépassement est obtenu par la résolution de $s'(t)=0$. Valeur du premier déplacement : $D=G.E_{0}.e^{\frac {-z\pi }{\sqrt {1-z^{2}}}}$ On défini aussi le dépassement relatif: $d={\frac {D}{G.E_{0}}}=e^{\frac {-z\pi }{\sqrt {1-z^{2}}}}$

Valeur particulière de z pour optimiser la rapidité (avec dépassement)

Pour : $z={\frac {\sqrt {2}}{2}}\simeq 0,7$ ,on obtient un dépassement relatif $d=e^{-\pi }=0,043=4,3\%$. C'est un bon compromis entre rapidité et dépassement. C'est la réponse la plus rapide si le cahier des charges tolère un dépassement. Réponse à un échelon unitaire d'un système avec un amortissement z=0,7 : On remarque que le premier dépassement reste contenu à la limite de la bande à + 5% de la valeur finale permettant la mesure du temps de réponse. Cette réponse est donc la plus rapide possible si on tolère le dépassement. Si le dépassement n'est pas toléré, la réponse la plus rapide est pour z=1 (régime critique).

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