Théorème de Guldin

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Définition

Premier théorème de Guldin

On désigne sous le nom de théorème de Guldin deux énoncés de géométrie euclidienne établis par le mathématicien suisse Paul Guldin. Il exprime sous certaines conditions :

  • l'aire de la surface engendrée par un arc de courbe
  • la mesure du volume engendré par une surface.

Une autre application courante de ce théorème est le calcul de la position du centre de gravité d'un arc de courbe ou d'une surface.

Premier énoncé

Théorème de Guldin, Premier énoncé

La mesure de l'aire engendrée par la rotation d'un arc de courbe plane autour d'un axe de son plan ne traversant pas l'arc de courbe est égale au produit de la longueur de l'arc de courbe par la longueur de la circonférence décrite par son centre de gravité :

est l'angle décrit par la rotation, est la distance du centre de gravité à l'axe et la longueur de l'arc.


Exemples :

  • l'aire du tore ouvert de rayons et vaut
  • l'aire engendrée par un demi-cercle de rayon et de centre de gravité est la sphère d'aire . Il vient .
Second théorème de Guldin

Second énoncé

Théorème de Guldin, Second énoncé

La mesure du volume engendré par la révolution d'un élément de surface plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas est égale au produit de l'aire de la surface par la longueur de la circonférence décrite par son centre de gravité :


Exemples :

  • le volume \intérieur du tore ouvert de rayons et vaut .
  • le volume engendré par un demi-disque de rayon et de centre de gravité est la boule de mesure . Il vient .

Utilisation pour déterminer la position du centre de gravité

En Mécanique, le théorème de Guldin est parfois utile pour calculer la position du centre de gravité d'une surface surface ou d'une courbe.

Exemple :

Soit le secteur de disque, homogène et d'épaisseur constante, paramétré sur le schéma ci-dessous :

Secteur.png

On cherche la position de son centre de gravité par différentes méthodes.

Par intégration sur le volume

Secteur corrige.png

L'élément de surface vaut

Le centre de gravité est donné par : pour un solide homogène

L’épaisseur étant constante, on peut écrire :

La position du centre de gravité de l'élément de surface est donné par

donc :

avec

donc :

Si  :


Avec le théorème de Guldin

pour , la surface est un quart de cercle de surface . Par rotation autour de l'axe , le volume engendré est une demi-sphère de volume .

Le second théorème de Guldin nous donne la relation : est la distance du centre de gravité du quart de cercle par rapport à l'axe des .

On obtient :

ce qui correspond au résultat trouvé par la méthode intégrale.



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