Voir la source de Comportement harmonique des systèmes asservis

Le comportement harmonique (ou fréquentiel) d'un système linéaire est sa réponse à une entrée de type sinusoïdale. Son étude permet de mettre en évidence un certain nombre de caractéristiques du système comme la fréquence de coupure, sa stabilité et sa bande passante.
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==Etude fréquentielle (ou harmonique)==
===Réponse à une sinusoïde===
L'analyse harmonique d'un système, consiste à le soumettre à une entrée sinusoïdale de la forme
<math>e(t) = e_{0}.sin(\omega.t)</math> , de transformée de Laplace <math>E(p)= E_{0}. \frac {\omega}{p^{2}+\omega^{2}}</math>.

'''Pour un système du 1er ordre''', la sortie dans le domaine de Laplace sera :

<math>S(p)= E_{0}. \frac {\omega}{p^{2}+\omega^{2}}. \frac {G}{1+\tau.p}</math>

Que l'on décompose en éléments simples : <math>S(p)= \frac {G.E_0.\omega}{1+\tau^2.\omega^2}.( \frac {1-\tau.p}{p^2+\omega^2}+ \frac {\tau^2}{1+\tau.p})</math>

<math>S(p)= \frac {G.E_{0}.\omega}{1+\tau^{2}.\omega}.( \frac {\tau} {\tau+p}+ \frac {1}{\omega}. \frac {\omega}{p^{2}+\omega^{2}}-\tau. \frac {p}{p^{2}+\omega^{2}})</math>

Ce qui correspond, dans le domaine temporel, à : <math>s(t)= \frac {G.E_0.\omega}{1+\tau^2.\omega^2}.(\tau.e^{- \frac {t}{\tau}}+ \frac {1}{\omega}.sin(\omega.t)-\tau.cos(\omega.t)).u(t)</math>

Ci dessous, une représentation de l'entrée  sinusoïdale (en vert) et de la sortie s(t) (en bleu).
(en pointillé : sinusoïdale correspondant au régime établi)

[[Fichier:Sortie temp sinus.svg]]

On peut constater, sur les courbes ci-dessus que :
* aprés une phase de régime transitoire, <math>s(t)</math> devient sinusoïdale;
* <math>s(t)</math> à la même période que <math>e(t)</math>;
* <math>s(t)</math> n'a pas la même amplitude que <math>e(t)</math>;
* <math>s(t)</math> présente un déphasage par rapport à <math>e(t)</math>.

===Régime établi===

En posant : <math>cos(\phi)= \frac {1}{\sqrt{1+\tau^{2}.\omega^{2}}}</math> et <math>sin(\phi)=- \frac {\tau.\omega}{\sqrt{1+\tau^{2}.\omega^{2}}}</math> 

on peut écrire s(t) en une somme de deux fonctions <math>s(t)=s_{transitoire} (t)+s_{etabli} (t)</math> avec :

*<math>s_{transitoire}(t)= \frac {G.E_0.\omega}{1+\tau^2.\omega^2}.\tau.e^{- \frac {t}{\tau}}</math> : régime transitoire.
*<math>s_{etabli}(t)= \frac {G.E_{0}}{\sqrt{1+\tau^{2}.\omega^{2}}}.sin(\omega.t+\phi)</math> : régime établi.

L'analyse fréquentielle s'intéresse '''uniquement au régime établi''' (le régime transitoire étant le champs d'étude de l'analyse temporel). En faisant abstraction du régime transitoire, on s'aperçoit que la réponse harmonique d'un système à une fonction sinusoïdale est une autre fonction sinusoïdale (régime établi) '''de même pulsation <math>\omega</math>''', de '''déphasage <math>\phi</math>''' et d''''amplitude <math>s_{0}= \frac {G.E_{0}}{\sqrt{1+\tau^{2}.\omega^{2}}}</math>'''.

L'analyse fréquentielle consiste à étudier l'évolution de l'amplitude et du déphasage en fonction de la pulsation <math>\omega</math> du signal d'entrée. 

Pour cela, en posant <math>p=j.\omega</math> (<math>j</math> étant l'opérateur complexe), la fonction de transfert H(p) du système peut se décomposer, comme toute fonction complexe en [[Module d'un nombre (d'une fonction) complexe|module]] et [[Argument d'un nombre complexe|argument]] qui correspondent à l'amplitude et au déphasage du système par rapport à son entrée.

* <math> \frac {s_{0}}{e_{0}}=|H(j.\omega)|</math> : [[Module d'un nombre (d'une fonction) complexe|module]] de la fonction de transfert. 
* <math>\phi=arg(H(j.\omega))</math> : [[Argument d'un nombre complexe|argument]] de la fonction de transfert.

===Exemple pour un système du premier ordre ===

*Amplitude :<math> \frac {s_{0}}{e_{0}}=|H(j.\omega)| = \frac{|G|}{|1+\tau j.\omega|} = \frac{G}{\sqrt{1+\tau^2 \omega^2}} </math>. Ce qui correspond bien au rapport d'amplitude entre la sortie et l'entrée en régime établi;
*Déphasage : <math>\phi=arg(H(j.\omega)) = arg (\frac{G}{1+\tau j.\omega} )=arg(G) - arg(1+\tau \omega) = 0 - arctan(\tau j.\omega)</math>. Ce qui correspond bien au déphasage <math>\phi</math> introduit plus haut.

Pour l'étude fréquentielle, il est intéressante d'étudier ces deux fonctions et de les représenter par des diagrammes en fonction de <math>\omega</math> : les diagrammes de Bode.
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==Diagramme de Bode==

===Définition===

Le diagramme de Bode consiste en représenter le '''gain''' (ou module) et la '''phase''' (ou l'argument) de <math>H(j.\omega)</math> en fonction de <math>\omega</math> sur deux représentations séparées.

*<math>G_(db)= 20.log(|H(j.\omega)|)</math> appelé gain de la fonction <math>H(j.\omega)</math>, exprimé en [https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9cibel décibels];
*<math>\phi=arg(H(j.\omega))</math> appelé phase de la fonction <math>H(j.\omega)</math>.

L'axe des abscisses est gradué en logarithme décimal en fonction de la pulsation <math>\omega</math>.
On indique sur l'axe la valeur de <math>\omega</math> et non celle de <math>log(\omega)</math>.
Les deux courbes ayant la même abscisse, elles sont tracées l'une en dessous de l'autre en correspondance verticale des valeurs de <math>\omega</math>.

Exemple de diagramme de Bode pour <math>H(p) = \frac {1.8}{p(1+0.47 p + p**2)}</math> :

[[Fichier:Bode exemple2.svg]]

Remarques :
* le tracé réel est en vert;
* on est souvent amené à tracer les asymptotes des courbes de gain et de phase (en noir). 
** Pour le gain, à cause du facteur <math>20.log</math> pour obtenir un gain en décibels, les pentes des asymptotes sont toujours un multiple de 20 dB/décade;
** Pour la phase, à cause des propriétés de l'argument, les asymptotes en basse et haute fréquences sont horizontales à un niveau multiple de 90°.
* on est parfois amené à ne tracer que les asymptotes (sans le tracé réel). On a à faire alors à un "diagramme asymptotique de Bode".

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[[Catégorie:Etudes fréquentielles]]