Fonction de transfert - Schéma bloc

Fonction de transfert

Considérons un système régit par l'équation différentielle du second ordre suivante :

$a_{2}.{\ddot {e}}(t)+a_{1}.{\dot {e}}(t)+a_{0}.e(t)=b_{2}.{\ddot {s}}(t)+b_{1}.{\dot {s}}(t)+b_{0}.s(t)$

Si on se place dans le cas où toutes les conditions initiales sont nulles (on peut toujours s'y ramener) et si on utilise le théorème de la dérivation (première et seconde), on obtient :

$a_{2}.p^{2}.E(p)+a_{1}.p.E(p)+a_{0}.E(p)=b_{2}.p^{2}.S(p)+b_{1}.p.S(p)+b_{0}.S(p)$

soit $E(p).(a_{2}.p^{2}+a_{1}.p+a_{0})=S(p).(b_{2}.p^{2}+b_{1}.p+b_{0})$

On pose:

Fonction de transfert d'un système

$H(p)={\frac {S(p)}{E(p)}}={\frac {a_{2}.p^{2}+a_{1}.p+a_{0}}{b_{2}.p^{2}+b_{1}.p+b_{0}}}$ H(p) est la “fonction de transfert” du système.

Sous cette forme, $H(p)$ est une fraction rationnelle en $p$. Si on nomme $z1,z2,p1,p2$, les racines (complexes) des polynômes du numérateur $N(p)$ et du dénominateur D(p), la fonction de transfert s'écrit:

$H(p)={\frac {a_{2}(p-z_{1})(p-z_{2})}{b_{2}(p-p_{1})(p-p_{2})}}$

Les $z_{1}$ sont les zéros de la fonction de transfert. Les $p_{1}$ sont les pôles de la fonction de transfert.

La fonction de transfert caractérise entièrement le système. Elle permet en particulier de calculer la sortie pour une entrée donnée: $S(p)=E(p).H(p)$

• Remarque 1: Le dénominateur est l'équation caractéristique de l'équation différentielle.

• Remarque 2: Si on applique à l'entrée du système une impulsion unité, un "pic de Dirac", dont on a vu que la transformée vaut 1 (voir Transformation de Laplace des fonctions usuelles), on a S(p) = H(p) . 1 et s(t) = h(t), alors on peut dire que la fonction de transfert a la même expression que la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle.

• Remarque 3 :La fonction de transfert est une fonction, la réponse est une grandeur physique, la transformée inverse de la fonction de transfert n'existe pas et n'aurait aucun sens physique.

Dans la pratique, on peut en déduire que la connaissance de la réponse à une impulsion permet de caractériser le système, c'est à dire connaître sa fonction de transfert, et donc suffit pour définir son comportement , quelle que soit l'entrée e(t).

• Remarque 3: En expérimentation, on ne peut que s'approcher "suffisamment" d'un DIRAC, (amplitude infinie, durée nulle...), mais cette propriété est utilisée par les logiciels de simulation.
• Remarque 4: Si on applique à l'entrée du système un échelon unitaire, dont on a vu que la transformée vaut${\frac {1}{p}}$ , on a $S(p)={\frac {1}{p}}.H(p)$soit $H(p)=pS(p)$

Mode d'emploi: On applique a un système un signal d'entrée échelon. On observe l'évolution de la sortie s(t). On calcule S(p), ce qui permet donc également de déterminer la fonction de transfert, et est beaucoup plus facile à mettre en oeuvre.

Schémas blocs

C'est la représentation dans le domaine symbolique des systèmes élémentaires par leur fonction de transfert. On peut le construire directement en utilisant directement la modélisation des systèmes élémentaires par leur fonction de transfert.

Bloc de transmittance $H(p)$

C'est la représentation graphique d'un système dont la sortie $S(p)$ est le produit de son entrée $E(p)$ par sa transmittance (ou fonction de transfert) $H(p)$ :

Exemples :

Type	Schéma-bloc
gain
intégrateur pur
premier ordre

Sommateurs/comparateurs

C'est la représentation graphique de l'addition ou de la soustraction de signaux portés par différentes branches du schéma :

Type	Schéma-bloc
comparateur
sommateur

Exemple : Système masse/ressort/amortisseur

• Un solide de masse M est animé d'un mouvement de translation par rapport au bâti (Ro) grâce à une liaison glissière d'axe ${\vec {x}}_{o}$. Il est par ailleurs relié à un point fixe du bâti par une liaison visco-élastique que l'on peut modéliser par un ressort de raideur k et un amortisseur visqueux-linéaire de coefficient $\lambda$ (l'effort résistant dû au frottement est proportionnel à la vitesse d'allongement).
• On exerce sur ce solide un effort f(t).

Comment évolue l'abscisse $x(t)$ du centre de gravité G de la masse M ?

Fonction de transfert

On cherche la fonction de transfert $H(p)$ telle que : $X(p)=F(p).H(p)$

En écrivant le théorème de la résultante dynamique appliqué à la masse en projection sur l'axe horizontal, on obtient :

$M{\ddot {x}}(t)=f_{exterieure}(t)+f_{ressort}(t)+f_{amortisseur}(t)=f(t)-k.x(t)-\lambda {\dot {x}}(t)$

Par transformation dans le domaine de Laplace :

$Mp^{2}X(p)=F(p)-k.X(p)-\lambda pX(p)$

Pour exprimer la fonction de transfert $H(p)={\frac {X(p)}{F(p)}}$

On écrit : $(Mp^{2}+\lambda p+k)X(p)=F(p)$

Puis :

${H(p)={\frac {X(p)}{F(p)}}={\frac {1}{Mp^{2}+\lambda p+k}}}$

Ce qui constitue la fonction de transfert du système.

Schéma-bloc

On construit la somme des forces appliquées à la masse avec des comparateurs, en laissant l'entrée $F(p)$ à gauche :

Cette somme étant égale à la résultante dynamique $Mp^{2}X(p)$, on ajoute un bloc ${\frac {1}{Mp^{2}}}$ pour obtenir la sortie $X(p)$ :

On peut établir les deux forces $kX(p)$ et $\lambda pX(p)$ à partir de la sortie $X(p)$ :

Ce schéma représente le système masse ressort amortisseur décrit plus haut.

Réduction du schéma bloc

Grâce à l'algèbre des schémas-bloc, on peut réduire le schéma-bloc à un bloc unique dont la transmitance est la fonction de transfert du système.

Par réduction de la boucle interne (formule de Black),le schéma-bloc précédent se réduit à :

Par réduction de la boucle restante,le schéma-bloc devient :

On retrouve bien la fonction de transfert établie précédemment.

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