Moteur à courant continu

Un moteur à courant continu est une machine électrique. Il s'agit d'un convertisseur électromécanique permettant la conversion bidirectionnelle d'énergie entre une installation électrique parcourue par un courant continu et un dispositif mécanique.

• En fonctionnement moteur, l'énergie électrique est transformée en énergie mécanique.
• En fonctionnement générateur, l'énergie mécanique est transformée en énergie électrique. La machine se comporte comme un frein.

Inventée par Zénobe Gramme (1826-1901), c'était au départ un simple générateur de courant continu.

Constitution et principes physiques

Une machine électrique à courant continu est constituée :

• D'un stator qui est à l'origine de la circulation d'un flux magnétique fixe créé soit par des enroulements statoriques (bobinage) soit par des aimants permanents. Il est aussi appelé « inducteur » en référence au fonctionnement en génératrice de cette machine.
• D'un rotor bobiné. Les enroulements rotoriques sont aussi appelés enroulements d'induits, ou communément « induit » en référence au fonctionnement en génératrice de cette machine.

• Le courant I, injecté via les balais au collecteur, traverse le bobinage du rotor et change de sens (commutation) pendant la rotation grâce au système balais-collecteur. Ceci permet de maintenir la magnétisation du rotor perpendiculaire à celle du stator pendant la rotation.
• L'existence du couple s'explique par l'interaction magnétique entre stator et rotor et est proportionnelle à I.

Force contre-électromotrice

Dans le cas d'un fonctionnement en génératrice, le bobinage du rotor, traversé par le courant I se déplace dans le champ statorique. Il est donc le siège d'un courant induit (loi de Lenz) proportionnelle à l'intensité du champ statorique et à sa vitesse de déplacement, donc à la fréquence de rotation. L'ensemble de ces forces a pour conséquence l'apparition d'une force électromotrice (FEM) globale aux bornes de l'enroulement rotorique qui est proportionnelle à l'intensité du champ statorique et à la vitesse de rotation du moteur et qui permet la production de courant.

Dans le cas d'un fonctionnement en moteur, cette FEM est produite également mais s'oppose au courant d'alimentation du moteur. Elle est alors appelée "force contre-électromotrice" (FCEM).

Modélisation de la partie électrique

La partie électrique du moteur peut-être simplifiée au schéma suivant :

où :

• $I$ est le courant traversant l'induit (A);
• $U$ est la tension aux bornes de l'induit (V);
• $L$ est l'inductance des enroulements du moteur (mH);
• $R$ est la résistance électrique interne du moteur (Ohm);
• $E$ est la force contre-électromotrice (symbolisé par un générateur);
• $U_{L}$, $U_{R}$ et $U_{E}$ sont les tensions aux bornes de l'inductance, de la résistance et de la FCEM.

Les équations électriques sont :

• $U(t)=U_{L(t)}+U_{R(t)}+U_{E(t)}=L{\frac {dI(t)}{dt}}+R.I(t)+U_{E(t)}$
• $U_{E(t)}=K_{E}.\omega (t)$ où $K_{E}$ est la constante de force électromotrice qui relie cette FCEM à la vitesse de rotation de l’arbre moteur $\omega (t)$

Modélisation de la partie mécanique

Le modèle mécanique simplifié consiste à représenter le rotor par un volant d'inertie $J$ soumis à :

• un couple moteur $C_{m}$ provenant du champ magnétique tel que $C_{m}=K_{c}.I(t)$ où $K_{c}$ est la constante de couple;
• un couple de frottement $C_{f}$ proportionnel à la vitesse de rotation du rotor tel que $C_{f}=f.\omega (t)$ où $f$ est le coefficient de frottement visqueux.

Le principe fondamental de la dynamique (seconde loi de Newton) appliqué à un solide en rotation permet d'écrire :

$C_{m}-C_{f}=J.{\frac {d\omega (t)}{dt}}$ $\Rightarrow K_{c}.I(t)-f.\omega (t)=J.{\frac {d\omega (t)}{dt}}$

Fonction de transfert du système

$U(t)$ est l'entrée du système et $\omega (t)$ est la sortie.

On considère que les conditions initiales sont nulles.

Transformation dans le domaine de Laplace

Équations électriques :

• $U(p)=LpI(p)+R.I(p)+U_{E(p)}$
• $U_{E(p)}=K_{E}.\Omega (p)$

$\Rightarrow U(p)=LpI(p)+R.I(p)+K_{E}.\Omega (p)$ (1)

Équation mécanique :

• $K_{c}.I(p)-f.\Omega (p)=J.p.\Omega (p)$ (2)

Fonction de transfert

(1) $\Rightarrow U(p)-K_{E}.\Omega (p)=I(p)(Lp+R)$$\Rightarrow I(p)={\frac {U(p)-K_{E}.\Omega (p)}{Lp+R}}$

En remplaçant dans l'équation (2) :

$K_{c}.{\frac {U(p)-K_{E}.\Omega (p)}{Lp+R}}-f.\Omega (p)=J.p.\Omega (p)$

$\Rightarrow K_{c}.{\frac {U(p)}{Lp+R}}=(J.p.+f+{\frac {K_{c}.K_{e}}{Lp+R}})\Omega (p)$

$\Rightarrow {\frac {\Omega (p)}{U(p)}}={\frac {K_{c}}{(J.p.+f)(Lp+R)+K_{c}.K_{e}}}$

Fonction de transfert du moteur CC

$H(p)={\frac {\Omega (p)}{U(p)}}={\frac {K_{c}}{J.L.p^{2}+(J.R+L.f)p+R.f+K_{c}.K_{e}}}$

Il s'agit d'un système du second ordre.

Cette fonction de transfert peut se mettre sous forme canonique :

$H(p)={\frac {\frac {K_{c}}{R.f+K_{c}.K_{e}}}{{\frac {J.L}{R.f+K_{c}.K_{e}}}.p^{2}+{\frac {J.R+L.f}{R.f+K_{c}.K_{e}}}p+1}}$

Schéma-bloc

Partie électrique

Le schéma bloc de la partie électrique est construit à partir des schéma-blocs élémentaires suivants :

Bobine (Inductance)

Schéma	Équations temporelles	Transformée	Schéma bloc
	$U_{L}(t)=L.{\frac {di(t)}{dt}}$ ${\frac {di(t)}{dt}}={\frac {U_{L}(t)}{L}}$ $i(t_{1})={\frac {1}{L}}\int _{0}^{t_{1}}U_{L}(t).dt$	$I(p)={\frac {1}{L.p}}.U(p)$	U(p) ${\frac {1}{L.p}}$ $I(p)$

Résistance

Schéma	Équations temporelles	Transformée	Schéma bloc
	$u(t)=R.i(t)$	$U(p)=R.I(p)$	$I(p)$ $R$ $U(p)$

La tension $U_{L}$ dans la bobine est obtenue en retranchant $U_{E}$ puis $U_{R}$ à la tension d'entrée $U$ du système.

Le schéma-bloc de la partie électrique peut-être le suivant :

Par réduction de la boucle, on obtient :

Partie mécanique

Le schéma bloc de la partie mécanique est construit à partir des schéma-blocs élémentaires suivants :

Volant d'inertie

Schéma	Équations temporelles	Transformée	Schéma bloc
	$c(t)=J.{\ddot {\theta (t)}}$ ${\frac {d\omega (t)}{dt}}={\frac {1}{J}}c(t)$ $\omega (t_{1})={\frac {1}{J}}.int_{0^{t_{1}}}c(t).dt$	$\Omega (p)={\frac {1}{J.p}}.C(p)$	$C(p)$ ${\frac {1}{J.p}}$ $\Omega (p)$

Pivot visqueux (avec frottement fluide)

Schéma	Équations temporelles	Transformée	Schéma bloc
	$c(t)=f.\omega (t)$	$C(p)=f.\Omega (p)$	$\Omega (p)$ $f$ $C(p)$

On obtient le schéma bloc suivant :

Par réduction de la boucle, on obtient :

Assemblage des deux parties

$C_{m}$ étant proportionnel à l'intensité $I$, on ajoute un bloc de transmitance $K_{c}$ entre la partie électrique et la partie mécanique.

La force contre-éléctromotrice étant proportionnelle à $\Omega$, on ajoute une boucle de retour entre $\Omega$ et l'entrée $U$.

Simplification par inductance négligée

Beaucoup d'études incluant un moteur à courant continu propose de négliger l'inductance. Cette simplification permet de ramener le modèle du moteur à courant continu à un modèle du premier ordre.

Avec $L=0$ , on obtient :

$H(p)={\frac {K_{c}}{J.R.p+R.f+K_{c}.K_{e}}}$

Que l'on peut mettre sous forme canonique du premier ordre :

$H(p)={\frac {\frac {K_{c}}{R.f+K_{c}.K_{e}}}{1+{\frac {J.R}{R.f+K_{c}.K_{e}}}.p}}$

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