Précision des SLCI

Erreur et écart

La précision d’un SLCI est caractérisée par l’erreur qu’il produit ou par l'écart.

Erreur et écart

Dans un asservissement, l’erreur ${e}_{r}(t)$ est la différence entre l’entrée (consigne de commande) et la sortie (grandeur asservie). ${e}_{r}\left(t\right)=e\left(t\right)-s\left(t\right)$ ou ${E}_{r}\left(p\right)=E\left(p\right)-S\left(p\right)$ Par ailleurs, l'écart $\epsilon (t)$ est la valeur en sortie du comparateur.

Remarques :

1) L'erreur n’a de sens que si l’entrée et la sortie sont de même nature et donc sont comparables.

2) Dans le cas particulier d’un système modélisé par un schéma-bloc à retour unitaire, L’erreur ${e}_{r}\left(t\right)$ est égale à l’écart $\mathrm {\epsilon } \left(t\right)$ en sortie de comparateur.

Erreur et écart statiques

Erreur statique et écart statique

Dans un asservissement, l’erreur statique ${e}_{s}$ est la limite à convergence (quand $t\to \infty$) de l’erreur ${e}_{r}(t)$. ${e}_{s}={\underset {t\rightarrow \mathrm {\infty } }{\lim }}{e}_{r}(t)={\underset {t\rightarrow \mathrm {\infty } }{\lim }}(e(t)-s(t))$ De même l’écart statique ${\epsilon }_{s}$ est la limite à convergence (quand $t\to \infty$) de l’écart $\epsilon (t)$. ${\epsilon }_{s}={\underset {t\rightarrow \mathrm {\infty } }{\lim }}\epsilon (t)$

Calcul de l'erreur statique par le théorème de la valeur finale:

Dans le domaine de Laplace, on pose $S(p)=E(p).H(p)$ où $H(p)$ est la FTBF du système.

On peut alors écrire : ${E}_{r}\left(p\right)=E\left(p\right)-S\left(p\right)=E\left(p\right)-E\left(p\right)H\left(p\right)=E\left(p\right)\left(1-H\left(p\right)\right)$

On peut alors calculer facilement l’erreur statique dans le domaine de Laplace en utilisant le théorème de la valeur finale. Il vient :

${e}_{s}={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}\ p\ {E}_{r}\left(p\right)={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}\ p\left(E\left(p\right)-S\left(p\right)\right)={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}\ p\ E\left(p\right)\left(1-H\left(p\right)\right)$

Erreur en position

Si l’entrée est un échelon, $E\left(p\right)={\frac {{e}_{0}}{p}}$ , ${e}_{s}$ correspond alors à l’erreur en position.

L'erreur statique est alors la différence entre la valeur de l'échelon d'entrée et l'asymptote finale de la sortie .

Erreur de trainage ou de poursuite

Si l’entrée est une rampe, $E\left(p\right)={\frac {{e}_{0}}{{p}^{2}}}$ , ${e}_{s}$ correspond alors à l’erreur en vitesse, ou erreur de trainage, ou erreur de poursuite.

L'erreur de trainage (ou de poursuite) est alors la distance verticale entre la rampe d'entrée et l'asymptote finale de la sortie .

Remarque : L'erreur de trainage est finie seulement si le gain de la FTBO est unitaire.

Erreur en accélération

Si l’entrée est un parabole, $E\left(p\right)={\frac {2{e}_{0}}{{p}^{3}}}$ , ${e}_{s}$ correspond alors à l’erreur en accélération.

Précision

Définition

Précision d'un SLCI

Le système est dit précis si ${e}_{s}$ est nul. Sinon, ${e}_{s}$, si elle est finie, est à comparer avec une exigence du cahier des charge pour conclure sur la précision du système .

Précision en poursuite d’un système à retour unitaire

La précision en poursuite correspond à la valeur de l'erreur statique uniquement sous l'influence de la consigne. On considérera dans ce cas que la perturbation est nulle.

Par ailleurs, tout système asservi modélisé peut se ramener à un modèle à retour unitaire par opérations sur les schémas-blocs :

classe et gain de la FTBO

En négligeant la perturbation, on peut mettre la FTBO H(p) sous la forme générale suivante : $H\left(p\right)={\frac {K}{{p}^{\mathrm {\alpha } }}}{\frac {1+{a}_{1}p+\mathrm {...} +{a}_{m}{p}^{m}}{1+{b}_{1}p+\mathrm {...} +{b}_{n}{p}^{n}}}$ où $\mathrm {\alpha }$, $m$et $n$sont des entiers. Dans cette forme, on note : $\mathrm {\alpha }$ est la classe du système, et représente le nombre d’intégrateurs purs dans H(p); K est le gain de la chaine directe, ou gain en boucle ouverte. Il est appelé gain statique si il n’y a pas d’intégrateur pur dans H(p) (cad pour $\mathrm {\alpha } =0$), ou gain en vitesse, ou gain en accélération si, respectivement , $\mathrm {\alpha } =1$ ou $\mathrm {\alpha } =2$.

Si on sollicite le système avec une entrée de type généralisé $E\left(p\right)={\frac {1}{{p}^{\mathrm {\beta } }}}$correspondant à :

• une impulsion (si $\mathrm {\beta } =0$);
• un échelon (si $\mathrm {\beta } =1$);
• une rampe (si $\mathrm {\beta } =2$);
• ou à une parabole (si $\mathrm {\beta } =3$),

on obtient les erreurs statiques suivantes :

Erreur statique en fonction de la classe de la FTBO et du type d’entrée
Entrée	impulsion	échelon	rampe	parabole
$\mathrm {\beta }$	0	1	2	3
	1	${\frac {1}{p}}$	${\frac {1}{{p}^{2}}}$	${\frac {1}{{p}^{3}}}$
$\mathrm {\alpha } =0$	0 (précis)	${\frac {1}{1+K}}$	$\infty$ (divergent)	$\infty$ (divergent)
$\mathrm {\alpha } =1$	0 (précis)	0 (précis)	${\frac {1}{K}}$	$\infty$ (divergent)
$\mathrm {\alpha } =2$	0 (précis)	0 (précis)	0 (précis)	${\frac {1}{K}}$

Ce tableau permet de conclure sur la précision du système sans faire le calcul de l’erreur.

Remarques :

• La présence d’intégrateur(s) dans la FTBO ($\mathrm {\alpha }$>0) permet d’obtenir plus de précision sur des entrée variables.

• Pour les valeurs d’erreur statique non nulles et finies (${\frac {1}{1+K}}$ et ${\frac {1}{K}}$) on remarque que plus le gain statique est important, et plus l’erreur statique est réduite.

Démonstration :

${e}_{s}={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}\ {\mathit {pE}}\left(p\right)\left(1-{\mathit {FTBF}}\left(p\right)\right)={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}\ p{\frac {1}{{p}^{\mathrm {\beta } }}}\left(1-{\frac {H\left(p\right)}{1+H\left(p\right)}}\right)$ avec $H\left(p\right)={\frac {K}{{p}^{\mathrm {\alpha } }}}{\frac {1+{a}_{1}p+\mathrm {...} +{a}_{m}{p}^{m}}{1+{b}_{1}p+\mathrm {...} +{b}_{n}{p}^{n}}}$

Or ${\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}\ H(p)={\frac {K}{{p}^{\mathrm {\alpha } }}}\Rightarrow {\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}{\mathit {FTBF}}\left(p\right)={\frac {K}{{p}^{\mathrm {\alpha } }+K}}\Rightarrow {\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}\left(1-{\mathit {FTBF}}\left(p\right)\right)={\frac {{p}^{\mathrm {\alpha } }}{{p}^{\mathrm {\alpha } }+K}}$

Ensuite :

${e}_{s}={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}\ p{\frac {1}{{p}^{\mathrm {\beta } }}}\left(1-{\mathit {FTBF}}\left(p\right)\right)={\frac {1}{{p}^{\mathrm {\beta } -\mathrm {\alpha } -1}\left({p}^{\mathrm {\alpha } }+K\right)}}$

En remplaçant les valeurs de$\mathrm {\alpha }$ et$\mathrm {\beta }$, on retrouve les valeurs d’erreur statique reportées dans le tableau.

Précision d’un système en présence d’une perturbation (ou précision en régulation)

L’erreur due à une perturbation correspond à la valeur de l'erreur uniquement sous l'influence de la perturbation. On considère dans ce cas une consigne nulle .

Pour le schéma ci-dessus, la fonction de transfert en poursuite s’écrit :

$H_{F}(p)={\frac {S(p)}{F(p)}}\left\vert _{E(p)=0}\right.={\frac {G\left(p\right)}{1+H\left(p\right)G\left(p\right)}}$.

L'entrée $E(p)$étant considérée nulle, On calcule l'erreur à convergence :

${e}_{s}={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}\ {\mathit {p}}(S(p)-E(p))={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}\ pS(p)={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}\ pF(p).H_{F}(p)$

Erreur due à la perturbation (ou erreur en régulation)

L’erreur due à la perturbation est directement la valeur à convergence de la sortie S(p). ${e}_{s}={\underset {t\rightarrow \infty }{\lim }}\ s(t)={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}\ p.S(p)$

On montre que une perturbation en échelon est annulée par le système si H(p) est de classe supérieure à 0.

Comportement d'un asservissement face à une perturbation en échelon

Un système à retour unitaire est insensible à une perturbation en échelon si il existe au moins une intégration dans la chaîne directe en amont de la perturbation.

Démonstration :

La fonction de transfert en poursuite (pour E(p)=0) s’écrit ${\frac {G\left(p\right)}{1+H\left(p\right)G\left(p\right)}}$.

Une perturbation en échelon correspond à $F\left(p\right)={\frac {{f}_{0}}{p}}$.

L’erreur due à la perturbation est donc : ${e}_{p}={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}p{\frac {{f}_{0}}{p}}{\frac {G\left(p\right)}{1+H\left(p\right)G\left(p\right)}}={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}{f}_{0}{\frac {G\left(p\right)}{1+H\left(p\right)G\left(p\right)}}$

En considérant que H(p) est de classe${\mathrm {\alpha } }_{h}$ et de gain ${K}_{h}$ et que G(p) est de classe${\mathrm {\alpha } }_{g}$ et de gain ${K}_{g}$, on peut écrire :${e}_{p}={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}{f}_{0}{\frac {\frac {{K}_{G}}{{p}^{{\mathrm {\alpha } }_{G}}}}{1+{\frac {{K}_{H}}{{p}^{{\mathrm {\alpha } }_{H}}}}{\frac {{K}_{G}}{{p}^{{\mathrm {\alpha } }_{G}}}}}}={\underset {p\rightarrow 0}{\lim }}{f}_{0}{\frac {{K}_{G}}{{p}^{{\mathrm {\alpha } }_{G}}+{\frac {{K}_{H}{K}_{G}}{{p}^{{\mathrm {\alpha } }_{H}}}}}}$

Si ${\mathrm {\alpha } }_{H}>0$ alors ${e}_{p}=0\forall {\mathrm {\alpha } }_{G}$.

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