Systèmes du second ordre : Différence entre versions

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(Page créée avec « amath Un système du second ordre est régi par une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. Celle-ci peut se mettre sous la forme générale `a... »)
 
(Réponse à un échelon unitaire)
 
(57 révisions intermédiaires par 3 utilisateurs non affichées)
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amath
+
{{AdsGoogle}}
 +
==Fonction de transfert==
 +
Un système du second est régi par une équation différentielle du second ordre du type <math> a_0.e(t) = b_0.s(t)+  b_1 \frac{d s(t)}{dt} +  b_2 \frac{d^2 s(t)}{dt^2}</math>
  
Un système du second ordre est régi par une équation différentielle du second ordre à coefficients constants.
+
Par transformation dans le domaine de Laplace :
Celle-ci peut se mettre sous la forme générale `a_0 e(t) = b_2 s''(t) + b_1 s'(t) + b_0 s(t)`
+
 
==Fonction de transfert==
+
<math>H(p) = \frac{S(p)}{E(p)} \frac {a_{0}} {b_{2} p^2 + b_{1} p + b_{0}}</math> (Remarque tous les coefficients sont positifs)
On a vu précédemment que sous réserve que les conditions initiales soient nulles, la fonction de transfert du système peut s'écrire: 
 
   
 
`H(p) = a_0/(b_2 p^2 + b_1 p + b_0)` (Remarque tous les coefficients sont positifs)
 
  
Que l’on peut la mettre sous forme canonique (forme en "`omega_n` ") :
+
Que l’on peut la mettre sous forme canonique :
  
 
{{A retenir|titre=Forme canonique - système du second ordre|contenu=
 
{{A retenir|titre=Forme canonique - système du second ordre|contenu=
  
`H(p) = G.((\omega _n ^2)/(p^2 + 2z\omega _n p + \omega _n ^2 ))`
+
{{centrer|<math>H(p) = \frac {G}{\frac {p^{2}}{\omega ^2 _{n}} + \frac {2z}{\omega _{n}} p + 1} </math>}}
  
 
avec :
 
avec :
* `G` : Gain statique;
+
* <math>G</math> : Gain statique;
* `omega _n` : Pulsation naturelle (ou pulsation propre non-amortie);
+
* <math>\omega _{n}</math> : Pulsation naturelle (ou pulsation propre non-amortie) en rad/s;
* `z` : Coefficient d'amortissement.
+
* <math>z</math> : Coefficient d'amortissement.
 
}}
 
}}
  
On trouve la valeur des coefficients par identification :
+
Les racines du dénominateur<math> p_{1}</math> et <math>p_{2}</math> sont les pôles de <math>D(p)</math> : <math>\frac { p^{2}}{ \omega^2_{n}} + \frac {2z}{\omega _{n}} p + 1 = (p - p_{1} )(p - p_{2} )</math>
`\omega_n^2 = b_0 /b_2 ` ,  pour `p \to 0` on trouve `G = a_0 /b_0`        puis on calcule  `2z\omega _n  = b_1 /b_2 `
 
  
Les racines du dénominateur p_1 et p_2 sont les pôles de `H(p)` : `p^2  + 2z\omega _n p + \omega _n ^2 = (p - p_1 )(p - p_2 )`
+
Les pôles sont réels ou complexes suivant le signe du discriminant <math>\Delta = \frac{4}{\omega _{n} ^{2}}(z^{2} - 1)</math>
  
Les pôles sont réels ou complexes suivant le signe du discriminant  `\Delta  = 4\omega _n ^2(z^2 - 1)`
+
On aura donc trois cas à traiter suivant les valeurs de z : <math>z>1</math> ; <math>z=1 </math> et <math>z<1</math>
 +
{{AdsGoogle}}
 +
==Cas : z > 1 (<math>\Delta > 0</math>) - Régime apériodique==
  
On aura donc trois cas suivant les valeurs de z : z>1 ; z=1 ; z<1
+
Dans ce cas les deux pôles sont réels et négatifs (somme < 0 et produit > 0 )
  
==premier cas : z > 1   (`\Delta > 0`) - Régime apériodique==
+
On pose <math>p_{1} = - 1/\tau_{1}</math> et <math>p_{2} = - 1/\tau_{2}</math> , ce qui permet d’écrire :
  
Dans ce cas les deux pôles sont réels et négatifs (somme < 0   et  produit > 0 )
+
{{A retenir|titre=Pour <math>z > 1</math> (<math>\Delta > 0</math>)|contenu=
 +
On peut alors factoriser le dénominateur et écrire la fonction de transfert sous la forme canonique suivante :
  
On pose `p_1  =  - 1/\tau_1`  et  `p_2  =  - 1/\tau_2` , ce qui permet d’écrire :
+
{{centrer|<math>H(p) = \frac {G}{(1 + \tau _{1} p).(1 + \tau _{2} p)}</math>}}
 
+
}}
{{A retenir|titre=Pour `z > 1`   (`\Delta > 0`)|contenu=`H(p) = G/((1 + \tau _1 p).(1 + \tau _2 p))`}}
 
  
 
Le système est équivalent à deux systèmes du 1er ordre placés en série.
 
Le système est équivalent à deux systèmes du 1er ordre placés en série.
Ligne 41 : Ligne 41 :
 
{{Schéma bloc|transmitance=
 
{{Schéma bloc|transmitance=
 
{{flèche droite|grandeur=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}}
 
{{flèche droite|grandeur=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}}
{{Bloc|transmitance=G}}
+
{{Bloc|transmitance=<math>G</math>}}
 
{{flèche droite|grandeur=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}}
 
{{flèche droite|grandeur=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}}
{{Bloc|transmitance=1/(1+tau_1 p}}
+
{{Bloc|transmitance=<math> \frac {1}{1+\tau_{1} p}</math>}}
 
{{flèche droite|grandeur=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}}
 
{{flèche droite|grandeur=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}}
{{Bloc|transmitance=1/(1+tau_2 p}}
+
{{Bloc|transmitance=<math> \frac {1}{1+\tau_{2} p}</math>}}
 
{{flèche droite|grandeur=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}}
 
{{flèche droite|grandeur=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}}
 
}}
 
}}
  
  
On a   `p_1 .p_2  = \omega _n ^2  
+
On a <math>p_{1} .p_{2} = \omega _{n} ^{2}
`              (points conjugués)
+
</math> (points conjugués)
  
on pose   `\tau _1 .\tau _2  = \tau _n ^2 = 1/\omega _n ^2 `
+
on pose <math>\tau _{1} .\tau _{2} = \tau _{n} ^{2} = 1/\omega _{n} ^{2} </math>
 +
 
 +
On peut calculer <math>2z = \frac {\tau _{1} + \tau _{2} }{\sqrt {\tau _{1} .\tau _{2} } }</math>
  
On peut calculer `2z = \frac {\tau _1  + \tau _2 }{\sqrt {\tau _1 .\tau _2 } }`
 
 
 
Position des pôles dans le plan complexe :
 
Position des pôles dans le plan complexe :
 
[[Image:Nyquist2.PNG‎]]
 
[[Image:Nyquist2.PNG‎]]
 
===Réponse à une entrée échelon: `E_0/p`===   
 
`S(p) = E_0 G.[1 /(p(1 + \tau _1 p)(1 + \tau _2 p))]
 
  
dont la transformée inverse est: `s(t) = E_0 G[ 1 + 1 / (\tau _2  - \tau _1 )( \tau _1.e^(-t/\tau _1) - \tau _2.e^(-t/\tau _2))]*u(t)`
+
===Réponse à une entrée échelon: <math> \frac {E_{0}}{p}</math>===
 +
<math>S(p) = E_{0} G.(\frac {1}{p(1 + \tau _{1} p)(1 + \tau _{2} p)}) </math>
  
+
dont la transformée inverse est: <math>s(t) = E_{0} G[ 1 + \frac {1}{\tau _{2} - \tau _{1} }( \tau _{1}.e^{-t/\tau _{1}} - \tau _{2}.e^{-t/\tau _{2}})]u(t)</math>
  
En fonction des valeurs numériques de `\tau _1` et `\tau _2`, on peut calculer le facteur d’amortissement `z` et pour plusieurs valeurs de `z`, on obtient les courbes ci-après. Il est intéressant de comparer à chaque fois le résultat avec la réponse à un échelon S^1(p) d’un système du premier ordre dont la constante de temps est égale à la plus grande des constantes de temps (par exemple  `\tau _2` ) :
+
'''Tracé pour <math>G=1 </math> et <math>z=2</math>''' :
`S^1 (p) = E_0 G.(1 - e^(-t/\tau _2))`
 
  
En trait pointillés la réponse du système du premier ordre démarre avec une tangente dont la pente vaut K/t2.
+
[[Fichier:2nd ordre indiciel apériodique z=2.svg]]
  
En trait fort la réponse du système du deuxième ordre démarre avec une tangente horizontale.
 
{|
 
|`G=1 `
 
  
`tau_1=1 `
+
*La réponse présente une tangente horizontale à l'origine. Cette caractéristique permet de différencier cette réponse de la réponse indicielle d'un premier ordre.
 +
*Il est intéressant de comparer cette réponse avec la réponse à un échelon <math>S^{1} (p)</math> d’un système du premier ordre dont la constante de temps est égale à la plus grande des constantes de temps (par exemple <math>\tau _{2}</math> ) :
  
`tau_2=2 `
+
<math>S^{1} (p) = E_{0} G.(1 - e^{-t/\tau _{2}})</math>
 +
{{AdsGoogle}}
 +
==Cas z = 1 (<math>\Delta = 0</math>) - Amortissement critique==
  
`=> z=1,06`
+
*On a une racine double réelle négative.
 +
*On pose <math>p_{1} = p_{2} = - \omega _{n} </math> et <math>\omega _{n} = 1/\tau</math>.
  
|
+
<math> \omega _{n} </math> est la pulsation naturelle (ou encore pulsation propre non amortie).
<svgcode width="500" height="250" >setBorder(1)
 
initPicture(-1.5,10,-0.5,1.5)
 
axes(1, 0.5, "labels", 1)
 
stroke = "green"
 
strokewidth=2
 
line([0,0],[0,1])
 
line([0,1],[10,1])
 
stroke = "red"
 
strokewidth=1
 
marker = "arrow"
 
line([0,0],[1,0])
 
stroke = "blue"
 
strokewidth=2
 
plot("0", -1,0)
 
plot("1+(1/(2-1))*(1*exp(-x/1)-2*exp(-x/2))",0,10)
 
strokedasharray = "10,5"
 
plot("(1-exp(-x/2))",0,10)
 
</svgcode>
 
|}
 
  
 +
On peut alors mettre la fonction sous la forme :
 +
{{A retenir|titre=Pour <math>z = 1</math> (<math>\Delta = 0</math>)|contenu=<math>H(p) = \frac{G\omega _{n} ^{2} }{p^{2} + 2z\omega _{n} p + \omega _{n} ^{2}} = G.\frac{\omega _{n} ^{2} }{(p + \omega _{n} )^{2} }</math>}}
  
{|
+
[[Image:Nyquist3.PNG|center]]
|`G=1`
 
  
`tau_1=0,2 `
 
 
`tau_2=2 `
 
 
`=> z=1,74`
 
|
 
<svgcode width="500" height="250" >setBorder(1)
 
initPicture(-1.5,10,-0.5,1.5)
 
axes(1, 0.5, "labels", 1)
 
stroke = "green"
 
strokewidth=2
 
line([0,0],[0,1])
 
line([0,1],[10,1])
 
stroke = "red"
 
strokewidth=1
 
marker = "arrow"
 
line([0,0],[1,0])
 
stroke = "blue"
 
strokewidth=2
 
plot("0", -1,0)
 
plot("1+(1/(2-0.2))*(0.2*exp(-x/0.2)-2*exp(-x/2))",0,10)
 
strokedasharray = "10,5"
 
plot("(1-exp(-x/2))",0,10)
 
</svgcode>
 
|}
 
 
On constate, sur cette deuxième courbe, que la réponse se rapproche davantage encore de celle d'un système du premier ordre.
 
C'est la constante de temps la plus grande qui ralentit le système.
 
 
==Deuxième cas z = 1 (`\Delta  = 0`) - Amortissement critique==
 
* On a une racine double réelle négative.
 
* On pose  `p_1  = p_2  =  - \omega _n ` et `\omega _n  = 1/\tau`.
 
 
` \omega _n `  est la pulsation naturelle (ou encore pulsation propre non amortie).
 
 
On peut alors mettre la fonction sous la forme :
 
{{A retenir|titre=Pour `z = 1`   (`\Delta = 0`)|contenu=`H(p) = \frac{G\omega _n ^2 }{p^2  + 2z\omega _n p + \omega _n ^2}  = G.\frac{\omega _n ^2 }{(p + \omega _n )^2 }`}}
 
 
[[Image:Nyquist3.PNG|center]]
 
 
===Réponse à une entrée échelon unitaire===
 
===Réponse à une entrée échelon unitaire===
  
`S(p) = G.\frac{1}{p}.\frac{\omega _n ^2 }{(p + \omega _n )^2 }` en décomposant en éléments simples :
+
<math>S(p) = G.\frac{1}{p}.\frac{\omega _{n} ^{2} }{(p + \omega _{n} )^{2} }</math> en décomposant en éléments simples :
 
 
`S(p) = G. [1/p + (- 1)/(p + \omega _n) + (- \omega _n)/((p + \omega _n )^2)]`         
 
  
Dont la transformation de Laplace inverse est :`s(t) = G. [1 - e^((- t)/(\tau ))  - \frac{t}{\tau }e^{\frac{- t}{\tau } } ]*u(t) = G[1 - e^{\frac{ - t}{\tau }} (1 + \frac{t}{\tau })]*u(t)`
+
<math>S(p) = G. [\frac {1}{p} + \frac {- 1}{p + \omega _{n}} + \frac {- \omega _{n}}{(p + \omega _{n} )^{2}}]</math>
  
{|
+
Dont la transformation de Laplace inverse est :<math>s(t) = G. [1 - e^{ \frac {- t}{\tau }} - \frac{t}{\tau }e^{\frac{- t}{\tau } } ]u(t) = G[1 - e^{\frac{ - t}{\tau }} (1 + \frac{t}{\tau })]u(t)</math> avec <math>\tau = 1/\omega_{n}</math>
|`G=1 `
 
  
`tau=2 `
+
'''Tracé pour <math>G=2 </math> et <math>z=1 </math> :'''
  
|
+
[[Fichier:2nd ordre indiciel apériodique svg.svg]]
<svgcode width="500" height="250" >setBorder(1)
+
{{AdsGoogle}}
initPicture(-1.5,10,-0.5,1.5)
+
==Cas z < 1 (<math>\Delta < 0</math>) - Régime périodique==
axes(1, 0.5, "labels", 1)
 
stroke = "green"
 
strokewidth=2
 
line([0,0],[0,1])
 
line([0,1],[10,1])
 
stroke = "red"
 
strokewidth=1
 
marker = "arrow"
 
line([0,0],[1,0])
 
stroke = "blue"
 
strokewidth=2
 
plot("0", -1,0)
 
plot("1-(1*exp(-x/2))*(1+(x/2))",0,10)
 
strokedasharray = "10,5"
 
plot("(1-exp(-x/2))",0,10)
 
</svgcode>
 
|}
 
  
==Troisième cas z < 1 (`\Delta  < 0`) - Régime périodique==
 
 
 
Le discriminant est négatif, les pôles sont complexes conjugués.
 
Le discriminant est négatif, les pôles sont complexes conjugués.
  
 +
[[Image:Nyquist4.PNG]]
  
 
[[Image:Nyquist4.PNG|center]]
 
 
===Réponse à un échelon unitaire===
 
===Réponse à un échelon unitaire===
  
On part de la même équation:`H(p) = \frac{G\omega _n ^2 }{p^2 + 2z\omega _n p + \omega _n ^2 }`
+
On part de la même équation:<math>H(p) = \frac{G\omega _{n} ^{2} }{p^{2} + 2z\omega _{n} p + \omega _{n} ^{2} }</math>
  
`S(p) = \frac{1}{p}.H(p)`
+
<math>S(p) = \frac{1}{p}.H(p)</math>
  
`\Delta = 4\omega _n ^2 (z^2 - 1).... négatif
+
<math>\Delta = 4\omega _{n} ^{2} (z^{2} - 1)</math> .... négatif
  
`p_1  = \omega _n ( - z - i\sqrt {1 - z^2 } )`
+
<math>p_{1} = \omega _{n} ( - z - i\sqrt {1 - z^{2} } )</math>
  
`p_2  = \omega _n ( - z + i\sqrt {1 - z^2 } )`
+
<math>p_{2} = \omega _{n} ( - z + i\sqrt {1 - z^{2} } )</math>
  
On pose (pour plus tard…) `z = - \sin (\varphi ) `  et  ` \sqrt {1 - z^2 } = \cos (\varphi )`
+
Après transformation inverse de Laplace, on obtient une sortie s(t) de la forme :<math>s(t) = G.[ 1 - \frac{e^{ - z\omega _{n} t} }
 +
{\sqrt {1 - z^{2}} } \sin (\omega t + \varphi ) ] u(t)</math>
  
 +
Courbe de réponse pour z=0,3
  
On obtient une sortie s(t) de la forme :`s(t) = G.[ 1 - \frac{e^{ - z\omega _n t} }
+
[[Fichier:2nd ordre indiciel périodique.svg]]
{\sqrt {1 - z^2} }( \cos (\omega t + \varphi } )]`
 
  
Dans laquelle on trouve les caractéristiques suivantes :
+
On peut décrire les caractéristiques suivantes :
  
 
{{A retenir|titre=Pulsation amortie ou pseudo-pulsation|contenu =
 
{{A retenir|titre=Pulsation amortie ou pseudo-pulsation|contenu =
Pour identifier S(p) aux formes des transformées de Laplace ayant un dénominateur de la forme `(p + a)^2  + \omega ^2 `, il faut poser :
+
La pulsation amortie, ou encore pseudo-pulsation <math>\omega</math> visible sur la courbe est (légèrement) inférieure à la pulsation naturelle <math>\omega_n</math>.
`\omega ^2  = \omega _n ^2 (1 - z^2 ) `
 
  
`omega` est la pulsation amortie, ou encore pseudo-pulsation.}}
+
{{centrer|<math>\omega = \omega _{n} \sqrt{ 1 - z^{2} } </math>}}
  
 +
La période T de la réponse est donc <math>T= \frac{2. \pi }{\omega} = \frac{2. \pi }{\omega _{n} \sqrt{ 1 - z^{2} }} </math>
 +
}}
  
{{A retenir|titre=Déphasage `\varphi`|contenu=
+
{{A retenir|titre=Premier dépassement | contenu =
L'angle de déphasage `\varphi` est défini par : `\varphi = arcsin(-z)`}}
+
Le premier dépassement correspond au maximum de la fonction représenté ci-dessus mesuré au dessus de l'asymptote finale (voir courbe ci-dessus).
  
{|
+
Le temps du premier dépassement est obtenu par la résolution de  <math>s'(t)=0</math>.
|Première courbe de réponse: z=0,2
 
  
la sinusoïde est peu amortie
+
Valeur du premier déplacement :
  
On peut encadrer la courbe entre
+
{{centrer|<math>D = G.E_{0} .e^{\frac{ - z\pi }{\sqrt {1 - z^{2} } } } </math>}}
  
deux exponentielles décroissantes :
+
On défini aussi le dépassement relatif:
 +
{{centrer| <math>d = \frac {D}{G.E_{0}} =e^{\frac{ - z\pi }{\sqrt {1 - z^{2} } } } </math>}}
  
`1 + e^{ - z\omega _n t}` et `1 - e^{ - z\omega _n t}`
+
}}
  
 +
{{A retenir|titre=Valeur particulière de z pour optimiser la rapidité (avec dépassement)|contenu=
 +
Pour :
 +
{{centrer| <math>z = \frac{\sqrt 2 }{2} \simeq 0,7</math>}}
  
|
+
,on obtient un dépassement relatif <math>d = e^{ - \pi } = 0,043 = 4,3\% </math>. C'est un bon compromis entre rapidité et dépassement.
<svgcode width="500" height="250" >setBorder(1)
+
C'est la réponse la plus rapide '''si le cahier des charges tolère un dépassement'''.
initPicture(-1.5,10,-0.5,2.5)
 
axes(2, 1, "labels", 1)
 
stroke = "green"
 
strokewidth=2
 
line([0,0],[0,1])
 
line([0,1],[15,1])
 
stroke = "red"
 
strokewidth=1
 
marker = "arrow"
 
line([0,0],[1,0])
 
stroke = "blue"
 
strokewidth=2
 
plot("0", -1,0)
 
plot("1 - exp(-0.2*1.5*x)*(cos(1.5*sqrt(1-0.2^2)*x)+0.2/sqrt(1-0.2^2)*sin(1.5*sqrt(1 - 0.2^2)*x))",0,15)
 
strokewidth=1
 
strokedasharray = "10,5"
 
stroke = "black"
 
plot("(1-exp(-x*1.5*0.2))",0,10)
 
plot("(1+exp(-x*1.5*0.2))",0,10)
 
</svgcode>
 
|}
 
  
{|
 
|Deuxième courbe de réponse:  z=0,5
 
  
la sinusoïde est plus amortie
+
Réponse à un échelon unitaire d'un système avec un amortissement z=0,7 :
  
 +
[[Fichier:2nd ordre indiciel périodique rapide.svg]]
  
|
+
On remarque que le premier dépassement reste contenu à la limite de la bande à + 5% de la valeur finale permettant la mesure du temps de réponse. Cette réponse est donc la plus rapide possible si on tolère le dépassement.
<svgcode width="500" height="250" >setBorder(1)
 
initPicture(-1.5,10,-0.5,2.5)
 
axes(2, 1, "labels", 1)
 
stroke = "green"
 
strokewidth=2
 
line([0,0],[0,1])
 
line([0,1],[15,1])
 
stroke = "red"
 
strokewidth=1
 
marker = "arrow"
 
line([0,0],[1,0])
 
stroke = "blue"
 
strokewidth=2
 
plot("0", -1,0)
 
plot("1 - exp(-0.5*1.5*x)*(cos(1.5*sqrt(1-0.5^2)*x)+0.5/sqrt(1-0.5^2)*sin(1.5*sqrt(1 - 0.5^2)*x))",0,15)
 
strokewidth=1
 
strokedasharray = "10,5"
 
stroke = "black"
 
plot("(1-exp(-x*1.5*0.5))",0,10)
 
plot("(1+exp(-x*1.5*0.5))",0,10)
 
</svgcode>
 
|}
 
{|
 
|Troisième courbe de réponse:  z=0,707
 
  
la sinusoïde est trés amortie,
+
Si le dépassement n'est pas toléré, la réponse la plus rapide est pour z=1 (régime critique).
 
+
}}
elle se rapproche du cas z=1
+
{{DLMC|SLCI}}
 
+
[[Catégorie:Etudes temporelles]]
 
 
|
 
<svgcode width="500" height="250" >setBorder(1)
 
initPicture(-1.5,10,-0.5,2.5)
 
axes(2, 1, "labels", 1)
 
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line([0,0],[0,1])
 
line([0,1],[15,1])
 
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line([0,0],[1,0])
 
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plot("1 - exp(-0.707*1.5*x)*(cos(1.5*sqrt(1-0.707^2)*x)+0.707/sqrt(1-0.707^2)*sin(1.5*sqrt(1 - 0.707^2)*x))",0,15)
 
strokewidth=1
 
strokedasharray = "10,5"
 
stroke = "black"
 
plot("(1-exp(-x*1.5*0.707))",0,10)
 
plot("(1+exp(-x*1.5*0.707))",0,10)
 
</svgcode>
 
|}
 
 
 
'''Remarque''' : dans ces trois cas, la tangente à l'origine est toujours horizontale.
 
 
 
=== Premier dépassement===
 
 
 
<svgcode width="500" height="250" >setBorder(1)
 
initPicture(-1.52,10,-0.5,2.5)
 
axes(2, 1, "labels", 1)
 
stroke = "green"
 
strokewidth=2
 
line([0,0],[0,1])
 
line([0,1],[15,1])
 
stroke = "red"
 
strokewidth=1
 
marker = "arrow"
 
line([0,0],[1,0])
 
dot([2.15,1.53], "open")
 
stroke = "blue"
 
strokewidth=2
 
plot("0", -1,0)
 
plot("1 - exp(-0.2*1.5*x)*(cos(1.5*sqrt(1-0.2^2)*x)+0.2/sqrt(1-0.2^2)*sin(1.5*sqrt(1 - 0.2^2)*x))",0,15)
 
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line([0.5,1],[0.5,1.53])
 
line([0.5,1.53],[0.5,1])
 
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</svgcode>
 
 
 
Le premier dépassement a lieu quand la dérivée `s'(t)` est nulle… On dérive donc  `s(t)` :
 
 
 
`s'(t) = G.E_0 { \frac{z\omega _n }
 
{\sqrt {1 - z^2 } }e^{ - z\omega _n t} .\cos (\omega .t + \varphi ) + \frac{1}
 
{\sqrt {1 - z^2 } }e^{ - z\omega _n t} .\omega .\sin (\omega .t + \varphi )}  = 0`
 
…dans laquelle `\omega  = \omega _n \sqrt {(1 - z^2 } )`
 
 
 
 
 
Le premier dépassement a lieu pour  `\omega .t = \pi `
 
 
 
 
 
REMARQUE : Entre le premier dépassement et le deuxième, on mesure la pseudo période:          `T = \frac{2\pi }
 
{\omega }`
 
 
 
 
 
Valeur du premier dépassement pour `\omega .t = \pi ` : (le dépassement est `D = s_{(D)} - s_{(t \to \infty )} = s_{(D)}  - G.E_0 `
 
)
 
 
 
et il vaut:
 
 
 
{{A retenir|titre=Premier dépacement|contenu=`D = G.E_0 .e^{\frac{ - z\pi }{\sqrt {1 - z^2 } } } `}}
 
 
 
 
 
'''La valeur particulière :'''    `z = \frac{\sqrt 2 }
 
{2}\varphi  = 45^\circ z = \sqrt {1 - z^2 } `
 
,    bon compromis entre rapidité et dépassement,
 
donne un dépassement relatif (ou indiciel) "d" :          `d = \frac{D}
 
{G.E_0 } = .e^{ - \pi }  = 0,043 = 4,3\% `
 
 
 
 
 
 
 
[[Catégorie:Automatique]]
 

Version actuelle datée du 5 novembre 2019 à 04:50

Fonction de transfert

Un système du second est régi par une équation différentielle du second ordre du type

Par transformation dans le domaine de Laplace :

(Remarque tous les coefficients sont positifs)

Que l’on peut la mettre sous forme canonique :

Forme canonique - système du second ordre

avec :

  •  : Gain statique;
  •  : Pulsation naturelle (ou pulsation propre non-amortie) en rad/s;
  •  : Coefficient d'amortissement.


Les racines du dénominateur et sont les pôles de  :

Les pôles sont réels ou complexes suivant le signe du discriminant

On aura donc trois cas à traiter suivant les valeurs de z :  ; et

Cas : z > 1 () - Régime apériodique

Dans ce cas les deux pôles sont réels et négatifs (somme < 0 et produit > 0 )

On pose et , ce qui permet d’écrire :

Pour ()

On peut alors factoriser le dénominateur et écrire la fonction de transfert sous la forme canonique suivante :


Le système est équivalent à deux systèmes du 1er ordre placés en série.


    
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
    
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
    
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
    
Fleche droite3.PNG


On a (points conjugués)

on pose

On peut calculer

Position des pôles dans le plan complexe : Nyquist2.PNG

Réponse à une entrée échelon:

dont la transformée inverse est:

Tracé pour et  :

2nd ordre indiciel apériodique z=2.svg


  • La réponse présente une tangente horizontale à l'origine. Cette caractéristique permet de différencier cette réponse de la réponse indicielle d'un premier ordre.
  • Il est intéressant de comparer cette réponse avec la réponse à un échelon d’un système du premier ordre dont la constante de temps est égale à la plus grande des constantes de temps (par exemple ) :

Cas z = 1 () - Amortissement critique

  • On a une racine double réelle négative.
  • On pose et .

est la pulsation naturelle (ou encore pulsation propre non amortie).

On peut alors mettre la fonction sous la forme :

Pour ()


Nyquist3.PNG

Réponse à une entrée échelon unitaire

en décomposant en éléments simples :

Dont la transformation de Laplace inverse est : avec

Tracé pour et  :

2nd ordre indiciel apériodique svg.svg

Cas z < 1 () - Régime périodique

Le discriminant est négatif, les pôles sont complexes conjugués.

Nyquist4.PNG

Réponse à un échelon unitaire

On part de la même équation:

.... négatif

Après transformation inverse de Laplace, on obtient une sortie s(t) de la forme :

Courbe de réponse pour z=0,3

2nd ordre indiciel périodique.svg

On peut décrire les caractéristiques suivantes :

Pulsation amortie ou pseudo-pulsation

La pulsation amortie, ou encore pseudo-pulsation visible sur la courbe est (légèrement) inférieure à la pulsation naturelle .

La période T de la réponse est donc


Premier dépassement

Le premier dépassement correspond au maximum de la fonction représenté ci-dessus mesuré au dessus de l'asymptote finale (voir courbe ci-dessus).

Le temps du premier dépassement est obtenu par la résolution de .

Valeur du premier déplacement :

On défini aussi le dépassement relatif:


Valeur particulière de z pour optimiser la rapidité (avec dépassement)

Pour :

,on obtient un dépassement relatif . C'est un bon compromis entre rapidité et dépassement. C'est la réponse la plus rapide si le cahier des charges tolère un dépassement.


Réponse à un échelon unitaire d'un système avec un amortissement z=0,7 :

2nd ordre indiciel périodique rapide.svg

On remarque que le premier dépassement reste contenu à la limite de la bande à + 5% de la valeur finale permettant la mesure du temps de réponse. Cette réponse est donc la plus rapide possible si on tolère le dépassement.

Si le dépassement n'est pas toléré, la réponse la plus rapide est pour z=1 (régime critique).


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