Transformation de Laplace

La résolution des équations différentielles pour des systèmes complexes (entrées et perturbations fonctions de t), devient vite délicate. La transformation de Laplace est un outil mathématique qui va permettre de résoudre des équations algébriques à la place des équations différentielles.

Sommaire

1 Définitions
2 Propriétés
3 Théorèmes fondamentaux (admis sans démonstration)
4 Exemples de transformées pour des fonctions usuelles
5 Transformée inverse de Laplace
6 Application de la méthode de Laplace à la résolution d'une équation différentielle simple
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Définitions

Soit f(t) une fonction de la variable réelle t définie sur R et supposée nulle pour tout $t<o$

(On l'appellera "fonction causale")

On appelle "transformée de Laplace" de la fonction $f(t)$ , la fonction complexe $F(p)$ de la variable complexe $p$ ,définie par l'intégrale, (si elle converge...)


A retenir
$F(p)=\int _{0}^{\infty }f(t).e^{-pt}dt$

On note $F(p)={\mathcal {L}}[f(t)]$ et on lit $F(p)$ est la "transformée de Laplace" de $f(t)$

Remarque On suppose que pour $t<0$ la fonction $f(t)$ est nulle, en fait les valeurs prises par $f(t)$ pour $x<0$ n'interviennent pas.

Dans la pratique, on multipliera une fonction f(t) quelconque par la fonction d'Heaviside notée $u(t)$ ,

$u(t)=0$ pour $t<0$

$u(t)=1$ pour $t>=0$ (voir Signaux canoniques d'entrée)

Exemple Si $f(t)=cos(\omega t)$ on calculera la transformée de Laplace de $cos(\omega t).u(t)$

Propriétés


Unicité
A $f(t)$ correspond une et une seule fonction $F(p)$ et inversement.


Linéarité (ou superposition)
${\mathcal {L}}[a.f(t)+b.g(t)]=a.{\mathcal {L}}[f(t)]+b.{\mathcal {L}}[g(t)]$

Théorèmes fondamentaux (admis sans démonstration)


Théorème de la dérivée première
${\mathcal {L}}[{\frac {df(t)}{dt}}]=p.F(p)-f(0^{+})$ $f(0^{+})$ représente la valeur à l'origine de la fonction f (=Conditions initiales)


Théorème de la dérivée seconde
${\mathcal {L}}[{\frac {d^{2}f(t)}{dt^{2}}}]=p^{2}.F(p)-p.f(0^{+})-f'(0^{+})$


Théorème de l'intégrale première
${\mathcal {L}}[\int _{0}^{\infty }f(t)dt]={\frac {1}{p}}.F(p)$


Théorème du retard
${\mathcal {L}}[f(t-\tau )]=e^{-\tau p}.F(p)$


Théorème de la valeur initiale
$\lim _{t\to 0}f(t)=\lim _{p\to \infty }p.F(p)$


Théorème de la valeur finale
$\lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{p\to 0}p.F(p)$

Ces deux résultats n'ont de sens que si les limites existent. On verra par la suite qu'elles sont liées à des conditions sur la fonction F(p).

Exemples de transformées pour des fonctions usuelles

Fonction impulsion, ou "pic de DIRAC"

$e(t)>O$ pour $t=0$ et $\int _{-oo}^{+oo}e(t)dt=1$

Transformation de Laplace :

en remarquant que $e^{-pt}.\delta (t)=0$ pour $t\in [\varepsilon ,+\infty ]$ et $e^{-pt}.\delta (t)=\delta (t)$ pour $t\in [0,+\varepsilon ]$


Tranformée de la fonction impulsion
${\mathcal {L}}[\delta (t)]=1$

Fonction échelon

La fonction échelon est définie par :

$u(t)=1$ pour $t>0$

$u(t)=0$ pour $t<0$

Transformation de Laplace :

${\mathcal {L}}[u(t)]=\int _{0}^{{\text{+}}\infty }1.e^{-pt}.dt=[{\frac {-1}{p}}e^{-pt}]_{0}^{{\text{+}}\infty }=-{\frac {1}{p}}e^{-p\infty }+{\frac {1}{p}}={\frac {1}{p}}$


Tranformée de la fonction échelon
${\mathcal {L}}[u(t)]={\frac {1}{p}}$

Fonction rampe

Définie par $f(t)=t.u(t)$ (le facteur u(t) est utilisé pour annuler la fonction pour t<0)

${\mathcal {L}}[t.u(t)]=\int _{0}^{{\text{+}}\infty }t.e^{-pt}.dt$

Par une intégration par parties:

$=[-t{\frac {1}{p}}e^{-pt}]_{0}^{{\text{+}}\infty }-\int _{0}^{{\text{+}}\infty }{\frac {-1}{p}}.e^{-pt}.dt=0-[{\frac {1}{p^{2}}}e^{-pt}]_{0}^{{\text{+}}\infty }={\frac {1}{p^{2}}}$


Tranformée de la fonction rampe
${\mathcal {L}}[t.u(t)]={\frac {1}{p^{2}}}$

Fonction décroissance exponentielle

Définie par : $f(t)=e^{-at}.u(t)$

Transformation de Laplace :

${\mathsf {L}}[e^{-at}.u(t)]=\int _{0}^{{\text{+}}\infty }e^{-pt}.e^{-at}.dt=int_{0}^{{\text{+}}\infty }e^{-(p+a)t}.dt=-{\frac {1}{p+a}}[e^{-(p+a)t}]_{0}^{+\infty }={\frac {1}{p+a}}$

Résultat obtenu en posant $q=p+a$ et en utilisant le résultat de la fonction échelon.


Tranformée de Laplace de la fonction décroissance exponentielle
${\mathcal {L}}[e^{-at}.u(t)]={\frac {1}{p+a}}$

Pour chaque type de fonction f(t) il est possible de calculer la transformée de Laplace.

Comme, excepté les quelques cas qui précèdent, les développements mathématiques deviennent vite complexes et sortent du domaine du programme d'automatique, on utilise une table de transformées usuelles. Cependant, les calculs restent abordables avec le niveau acquis en maths en prépa.

Le travail à faire est alors une mise en forme de la fonction temporelle $f(t)$ de manière à pouvoir l'identifier avec une des fonctions de la table. Cette table sera parfois fournie avec l'énoncé dans un problème posé.

Transformée inverse de Laplace

La fonction $f(t)$ dont $F(p)$ est la transformée, est appelée fonction originale de $F(p)$ .

$F(p)={\mathcal {L}}[f(t)]{\text{ }}\Leftrightarrow {\text{ }}f(t)={\mathcal {L}}^{\text{-1}}[F(p)]$

La résolution du problème dans le "domaine symbolique" fournit une équation en "p". On identifie cette équation à des transformées (fonctions de "p") figurant dans le tableau, et dont on connaît donc les transformées inverses. L'équation dans le "domaine temporel" ainsi obtenue est la solution recherchée.


Attention !
La transformée inverse d'une somme de fonctions dans le domaine de Laplace est égale à la somme des transformées inverses. MAIS La transformée inverse d'un produit de fonctions dans le domaine de Laplace n'est pas égale au produit des transformées inverses. Il faut utiliser une décomposition en éléments simples pour transformer le produit en somme

Dans le cas ou la fonction est trop complexe pour être identifiée directement à une transformée usuelle, il est nécessaire de réaliser une décomposition en éléments simples de la fonction, chacun de ces éléments étant alors identifiés à une transformée usuelle. On utilise ensuite la propriété de superposition :


Propriété de superposition
$f(t)={\mathcal {L}}^{\text{-1}}[F_{1}(p)+F_{2}(p)+....+F_{n}(p)]={\mathcal {L}}^{\text{-1}}[F_{1}(p)]+{\mathcal {L}}^{\text{-1}}[F_{2}(p)]+.....+{\mathcal {L}}^{\text{-1}}[F_{n}(p)]$

Application de la méthode de Laplace à la résolution d'une équation différentielle simple

Soit à résoudre l'équation différentielle donnant la vitesse d'un corps en chute libre dans le vide :

${\frac {dv(t)}{dt}}=g$

On considère les conditions initiales nulles, c'est à dire que $V_{0}=0$ . Par contre, on impose que le mouvement ne débute qu'à t=0 en considérant que la force extérieure (l'attration terrestre) ne s'applique qu'a partir de t=0. Ce qui conduit à multiplier $g$ par $u(t)$ :